f o f

[leo11]

Salut à tous !

J'ai un problème. Je suis en terminale et un élève de 1ère m'a demandé de l'aider sur la question suivante :
Soit une fonction f(x).
Déterminer f(x) tel que .

Cela veut donc dire que

J'ai d'abord posé f(x)=ax+b, mais lorsque l'on fait f(f(x)), nous n'obtenons qu'un polynôme de degré 1.

Je suis donc passé à . On calcule f(f(x)), et nous trouvons .
On essaie donc d'identifier, sauf que nous trouvons a=0 donc donc donc donc , où a', b', c' et d' sont les coeffs du polynôme de deg 4.
Nous obtenons donc une équation de la forme constantes=variables... Ce qui ne veut rien dire.

Donc je trouve ça bizarre. La fonction f vérifiant mes conditions existe-t-elle vraiment ? Si oui, un élève de première est-il en mesure de la définir avec ses connaissances ?

Merci.

Léo.
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[ansset]

bonsoir ,je ne vois rien de simple.
en tout pas , aucun polynome à puissance entière.
on peut approcher une solution.

je trouve en "équivalent" f(x) = (x^rac(2)-a))
avec a =-1/(1+rac(2))
qui donne des resultats assez propre si x est grand.

exercice de lycée ? celà me semble surprenant, c'est bien un énoncé brut comme celui ci , ou une déduction personnelle d'un autre énoncé ?

ou alors il y a peut être une astuce qui m'échappe.
je vais essayer avec une autre piste..
cordialement.

[ansset]

correction ( faute de frappe )
avec a =2/(1+rac(2))

[leo11]

Aah, c'est donc ça.
J'avais pensé aux puissances non-entières, mais je ne savais pas vraiment comment m'y prendre au niveau des coeffs du polynôme... Pourriez-vous m'expliquer svp ?
Il est fort probable que cette question ait été posée en conclusion d'exercice, mais je ne peux pas le confirmer, ne possédant pas le sujet.

Merci de m'avoir éclairer.

Léo.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

bonsoir,
j'ai cherché comme toi rapidement une puissance pour avoir un ordre d'idée.
la seule possible en ordre de grandeur est rac(2) car
(x^p)^p = x^(p²)
après j'ai fait une aproximation pour approcher a mais de toute façon la réponse ne peut pas être simplement
f(x) = x^rac(2)-a

il y a peut être une solution avec des ln et des exp, je n'ai pas cherché plus loin pour l'instant.

ce qui m'interresse, c'est l'origine de la question .
tu dis : fort probable , fin d'exercice ????
elle est arrivée comment au bout de ton stylo ??

[ansset]

ou bien une suite en a(k)*x^(2^(1/2k))

[ansset]

ou bien une suite en a(k)*x^(2^(1/2k))

je viens de lire : un élève de 1ère m'a demandé ???
ça devient troublant

[joel_5632]

bonjour

On essaie donc d'identifier, sauf que nous trouvons a=0 donc donc donc donc , où a', b', c' et d' sont les coeffs du polynôme de deg 4.
Nous obtenons donc une équation de la forme constantes=variables... Ce qui ne veut rien dire.

Si deux polynomes sont égaux, alors ce sont les coefficients 2 à 2 qui sont égaux, donc et non comme tu l'écris et qui n'a aucun sens ...

Le système est:

a=0 (terme x^4)
0=1 (terme x^2)
bc+c=-2 (terme constant)

qui est sans solution du fait de la ligne 0=1. Il n'y a donc pas de solution sous la forme d'un polynome du 2ème degré.

[leo11]

Oui, vous avez raison, mais le problème ne change pas.
Effectivement, les profs regrettent l'ancienne époaue, et les vieux-jeux ne changent pas...
J'essaierai de me procurer le sujet en question d'ici peu, mais je ne garantis rien.

Léo.

[ansset]

je pense à une chose. ( ce qui était peut être l'exercice )
il est tout à fait possible de tracer géographiquement f(x) , en utilisant les deux courbes
y=x²-2 et
y=x

[leo11]

Ah, je ne vois pas comment. Comment s'y prendrait-on ?
Sinon, j'ai pensé à quelque chose mais j'avance ceci vraiment au hasard :
Soit f(f(x))=x^2-2
==> (f(f(x)))'=2x
<==> f'(x)*f'(f(x))=2x
Et peut-être ceci correspondrait-il à une équation différentielle résoluble ? J'avance vraiment ça au hasard, n'ayant pas encore vu ni les équas diffs, ni comment nous les résolvions.
Et même si cela s'avérait vrai, on ne le voit pas en première, donc bon...

[mickan]

Bonjour,

Soit f(f(x))=x^2-2
==> (f(f(x)))'=2x
<==> f'(x)*f'(f(x))=2x
Et peut-être ceci correspondrait-il à une équation différentielle résoluble ? J'avance vraiment ça au hasard, n'ayant pas encore vu ni les équas diffs, ni comment nous les résolvions.
Et même si cela s'avérait vrai, on ne le voit pas en première, donc bon...

si l'on note z=f(rac(2)) alors f(z)=0
or f(f(0))=-2 donc f(0) non nul et donc z est différent de zéro
donc f'(z)*f'(f(z))=2*z, on déduit que f ne peut être dérivable en z.

de même si l'on suppose f continue alors f est paire

[gg0]

"or f(f(0))=-2 donc f(0) non nul" ?
Je ne vois pas de raison. Tout ce qu'on peut dire c'est que f(0) n'est pas z.

Mais j'ai peut-être raté quelque chose ...

Cordialement.

[ansset]

j'ai essayé aussi par cette voie, sans résultat pour l'instant.
( sinon f(0) ne peut pas être nul , par contre f(2)=2 )

la piste graphique est un peu bidouillée mais je vais essayer de l'améliorer, ou plutôt de la rendre plus lisible et explicative.

sinon , j'ai continué ( tj pour m'amuser ) la piste f(x) = x^rac(2)+ a mais en prenant a(x)
j'ai posé
f(x) =x^rac(2)+a(x) , avec
a(x) o(x^rac(2)) et a'(x) négligeable ( et hop ! )
j'obtient un truc pas très beau mais qui marche pas mal.

a(x)=-2/(1+rac(2)*x^(2-rac(2)))

avec les résultats relatifs suivants en comparant mon f(f(x)) avec x²-2
x=4 correct à 1% pret
x=10 correct à 1/1000 pret
x=200 correct à 1 millionième près.

[mickan]

Par l'absurde,
f(0)=0
f(f(0))=f(0)=0
et f(f(0))=0²-2=-2 donc 0=-2 absurde

f(0) non nulle

[mickan]

De plus les points fixe de f sont f(2)=2 et f(-1)=-1

[mickan]

posons x_n=2/rac(n)
x_n tend vers zéro
y_n=f(f(x_n)) tend vers f(0) par continuité de f
y_n=(4/n)-2 tend vers -2

f(0)=-2

or f paire donc f(f(0))=f(-2)=f(2)=2
mais f(f(0))=0²-2=-2

f ne peut être continue

[mickan]

erreur dans mon dernier post. y_n ne tend pas vers f(0). Oups

[ansset]

pour ma part, je ne suis pas interessé au comportement de f°f(x) au voisinage de 0 , mais sur R+ en général pour commencer.

[leo11]

Oulala, visiblement cette fonction est bien plus difficile à déterminer que ce à quoi j'avais pensé au départ...
N'y aurait-il pas un moyen (même vraiment complexe), de déterminer cette fonction rigoureusement ?

[ansset]

bonjour leo,
effectivement, en tout cas ça ne "saute" pas aux yeux.
tj pas de nouvelles de l'origine exacte de la question de ton copain de 1ère ?
celà nous mettrait peut être sur une piste, en connaissant le contexte.
cordialement.

[leo11]

Hélas non, toujours pas.
En fait, je ne connais pas personnellement l'élève dont j'ai fait mention, nous nous sommes croisés en quelque sorte. C'est un peu compliqué, je ne vais pas rentrer dans les détails.
Toutefois, je pense pouvoir obtenir plus d'infos d'ici demain.

[mickan]

Bonjour à vous,

Ansset pourrais-tu nous expliqué ton approche géométrique? J'aimerai savoir si il y a unicité de la fonction.

[ansset]

Bonjour à vous,

Ansset pourrais-tu nous expliqué ton approche géométrique? J'aimerai savoir si il y a unicité de la fonction.

ça va être difficile pour l'approche géometrique.
il faudrait un dessin + scan + .... ( et avec un truc propre )
en fait j'opère par itération en me rapprochant avec la fct y=x.

pour l'unicté, c'est une bonne question, intuitivement elle me semble facilement démontrable par l'absurde ( en tout cas pour x>2. par exemple )
g(x) et g'(x) >0 et g(x)>x
mais t'es pas sympa, tu pourrais t'y coller aussi .

[mickan]

Mais je m'y suis coller sans succès. C'est pourquoi je m'intéressais à ton approche géométrique qui est la seul façon de construire f pour l'instant.
L'approche par l'absurde n'a pas abouti.

Ce problème me rend

[lawliet yagami]

Bonsoir,
il n'y aucune solution

http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/...e-fonction.pdf

page 4.

[ansset]

Mais je m'y suis coller sans succès. C'est pourquoi je m'intéressais à ton approche géométrique qui est la seul façon de construire f pour l'instant.
L'approche par l'absurde n'a pas abouti.

Ce problème me rend

oui; je comprend, moi aussi , je commence à
d'ailleurs, en te repondant trop vite tout à l'heure, je crois avoir dit une grosse boulette.
si on oublie le -2 qui nous les c...e bien, on a g(x)=x² avec deux solutions pour f ( g=f°f)
f(x)=+/- x^(rac(2)) , donc pas d'unicité.
pas de raison à priori d'une unicité si évidente que ça donc dans le cas présent.
je m'accroche quand même, j'aime pas quand ça me resiste comme ça
j'approche par exemple d'une pseudo equa diff , mais ça tournicote.
je ne lache pas non plus l'approche graphique ( mais il me manque un petit qcq chose )
bonne soirée à toi
cordialement.

@lawliet :
je ne saisi pas bien le rapport avec ton lien. ça y ressemble, mais ce n'est pas exactement ce cas de figure, me semble-t-il.
mais j'ai peut être parcouru trop vite.

[leo11]

Etant donné le mal évident que chacun d'entre vous se donne pour tenter de résoudre ce petit problème, visiblement pas si facile qu'il n'en a l'air à première vue, je demande aux modérateurs s'il serait possible de déplacer le sujet de "Maths du collège/lycée" à "Maths du supérieur".

D'avance merci.

[lawliet yagami]

@lawliet :
je ne saisi pas bien le rapport avec ton lien. ça y ressemble, mais ce n'est pas exactement ce cas de figure, me semble-t-il.
mais j'ai peut être parcouru trop vite.

c'est marqué "par exemple l'équation g(g(z))=z^2-2 n'a pas de solution"

[ansset]

oups, je vais relire.
mais si c'est le cas , tu rassures pas mal de gens ici !!!
je savais que j'avais la grippe, alors je pensais mon esprit au ralenti , et ce truc m'énervait un peu
encore merci !
dis moi, tu le savais ou tu l'as découvert ?

et je promet un bizutage en règle du copain de 1ère.
( il se peut que se soit un colis piégé de son prof ceci dit )