intégrale complexe

[Isis-mirka]

Bonsoir à tous,
je vous contacte ce soir car j'aurais besoin de conseils sur un de mes exos
Il s'agit de montrer que l'intégrale de à +infini de exp(-pt)*sin(t) converge et de calculer sa valeur.

Je pensais montrer que lim quand t=>+ infini de cette intégrale était une limite finie , comme ça, j'aurias la valeur et la convergence serait prouvée
seulement, je ne m'en sort pas dans le calcul car on suggère dans l'énoncé d'utiliser le fait que sin(t) est la partie imaginaire de exp(it)

J'ai bien essayé de remplacer le sin(t) par Im(exp(it)) , de sortir le "Im()" devant l'intégrale, de factoriser le produit des deux exponentielles mais sans succès....


Merci pour vos suggestions

Cordialement
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[gg0]

Heu ...

le produit de deux exponentielles est ...

Cordialement.

[Isis-mirka]

je vais vous détailler un peu mon calcul.
on a intégrale de à +infini de exp(-pt)*sin(t).
Soit X>0
ce qui équivaut à intégrale de 0 à X de exp(-pt)*Im(exp(it))
o a donc : Im(intégrale de 0 à X de exp(t(i-p))
et donc, Im([exp(t(i-p))/(i-p)]de 0 à X)
et donc: Im(exp(X(i-p))/(i-p) - 1/(i-p))
je en sais pas trop si le calcul est correct jusque-là mais je bloque à partir de là car je n'arrive pas à extraire la partie imaginaire de cette expression ...


merci d'avance

[gg0]

Et en éliminant ce X parasite ?

Une intégrale de 0 à l'infini n'est pas une intégrale sur un intervalle borné.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isis-mirka]

je pensais faire tendre X vers + infini , on nous a dit de poser un X puis de le aire tendre ensuite vers + infini...
si je le fais maintenant, je ne sais pas trop quoi dire a propos de lim quand X=>+infini de exp(X(i-p)) car que dire du signe de i-p , p étant >0 , et i le complexe ?
si cette exponentielle pouvait partie , cela m'arrangerait bien mais ....

Merci d'avance

[gg0]

Classique, non ?

[Isis-mirka]

non pas vraiment, elle ne me dit rien celle-ci présentée de cette façon là, mais il est vrai qu'elle est tout à fait logique
du coup pour exp(X(i-p))/ (i-p), on a:
1/(i-p)* (exp(-X*p)*(cos(X)+isin(X)) sauf erreur de ma part

il est vrai que cela facilite la limite de l'exponentielle, mais qu'en est-il de (cos(X)+isin(X)) parce que j'ai l'impression de n'avoir fait que déplacer le problème....

merci

[gg0]

Ben .. c'est borné en module, donc multiplié par une exponentielle qui tend vers 0 (pour un p convenable), il n'y a pas de problème.

J'ai fait une erreur, c'est e^a, pas e^x :
mais tu avais rectifié de toi-même.

[Isis-mirka]

oui, ce n'est pas grave.
donc on aurait exp(-X*p)*(cos(X)+isin(X)) qui tendrait vers 0 vu que p est positif.
il resterait alors Im(-1/(i-p)), ce qui vaut normalement -1/(1+p^2) ce qui est le résultat final ?

merci d'avance

[gg0]

Pour connaître par cœur le résultat (j'ai enseigné la transformation de Laplace), je sais qu'il n'y a pas de signe -.

Cordialement.

NB : On obtient aussi facilement le résultat en appliquant la formule d'Euler su sinus.

[Isis-mirka]

ah oui, c'était une erreur de ma part.

merci beaucoup !

[Sethy]

Pour la beauté des maths (huhu), c'est aussi une intégrale qu'on peut résoudre sans jamais intégrer. Je vais poser p=1, juste pour ne pas avoir à trainer des constantes.

Essayons d'intégrer par partie en posant :



et



Il vient que



Opérons à nouveau une intégration par partie :



et



Nous obtenons :



Il suffit de réunir les intégrales dans le premier membre :



Et nous avons intégré sans jamais intégrer !

[Isis-mirka]

Merci pour votre démonstration ,elle est très pratique!
je me souviendrai de cette astuce !

Merci et bonne journée