Généralisation des fonctions lipschitziennes

[YNWA1892]

Bonsoir,

je me suis posé une petite question d'analyse, et n'étant pas vraiment analyste je me tourne vers ceux qui pourraient passer dans le coin. Si j'ai où est un intervalle de telle qu'il existe telle que , ben... qu'est-ce que je peux dire? ^^
Si est constante on tombe sur les fonctions lipschitziennes, c'est pour ça que je parle de généralisation des fonctions lipschitziennes. Mais si n'est pas constante, je ne sais pas trop ce qu'on peut dire... Si , on sait que les éléments dans l'image de sont à distance maximale 1, autrement dit que l'image de est une boule de rayon 1/2... Mais après...

Merci
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[Universus]

Bonjour,

Un cas particulier : supposons que pour . Alors nous avons l'inégalité pour . Pour tout entier n>0, l'inégalité du triangle nous indique que



Le membre de droite convergeant vers 0 lorsque n tend vers l'infini, on en déduit que est une fonction constante. Il s'agit d'un résultat plus fort que celui présenté dans le message initial.

Cela se généralise possiblement en considérant g s'annulant sur la diagonale de I, mais je lance ça à tout hasard.

Enfin, il s'agit d'une question bien vaste!

[taladris]

L'exemple donne par Universus correspond (a peu pres) aux fonctions holderiennes: wikipedia

[YNWA1892]

Okok, en fait l'exemple donné par Universus prouve que les fonctions a-holderiennes (avec comme constante C en suivant la notation de l'article wikipédia) avec a > 1 sont constantes. Et on dirait qu'il y a déjà pas mal de choses à faire avec des fonctions holderiennes...
Bon mais sinon, si notre application g est continue et que I est compact, on retombe sur une application lipschitzienne... Donc pour avoir un truc intéressant on peut enlever l'une des deux hypothèses... Enlever "g continue" c'est pas cool, donc il serait peut-être mieux de supposer I non compact...
M'enfin bon, c'était plus une idée lancée en l'air qu'autre chose, je sais pas si on peut obtenir des trucs vraiment cools avec...

Merci à vous deux en tout cas!

[A voir en vidéo sur Futura]

[YNWA1892]

Un lien vers un autre forum où j'ai posé la même question:
http://www.les-mathematiques.net/pho...d.php?4,879385

[Universus]

Bonjour,

Tout d'abord, merci taladris pour la mention aux fonctions höldériennes, je ne connaissais pas la notion!

Revenant au sujet, mais en modifiant quelque peu le problème : étant donné la relation (*) pour toute paire , où est continue et est a priori un espace topologique, pouvons-nous remplacer par une fonction «plus simple» (du moins vérifiant davantage de propriétés) tout en préservant ? Ici, .

Nécessairement, pour soit non vide, il faut .

Puisque est symétrique sous l'échange , si , alors pour (qui est aussi une fonction continue). Nous pouvons donc supposer symétrique dans ses arguments.

Puisque pour tout , la fonction est continue et préserve aussi l'ensemble .

Ces trois étapes indiquent que nous pouvons remplacer par une fonction qui vérifient presque tous les axiomes d'une métrique sur , exceptée la condition «» (aucune des deux implications n'est même exigée ici), sans changer l'espace . Il y a donc une «forme standard» pour le problème initial, c'est-à-dire que la fonction n'a pas besoin d'être totalement arbitraire.

Autre question : étant donné sans condition particulière, que peut-on dire de ? Est-ce un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions ? S'il existe non constante, alors nous pouvons clairement multiplier par un scalaire suffisamment grand pour que la relation (*) ne soit plus vérifiée partout. Par contre, nous avons (pour c>0) . Il est par ailleurs assez clair que si , alors leur somme ne l'est pas nécessairement. Donc, en général, n'est pas un espace vectoriel. Par contre, pour tout et pour tout vérifiant , nous avons . En particulier, est un espace convexe.

En étant moins général, il y a toutes sortes d'autres choses à dire. Par exemple, considérant un espace vectoriel et , si , alors les fonctions de sont -périodiques. En fait, si et l'ensemble des combinaisons linéaires finies d'éléments de K à coefficients entiers, alors pour tout , est -périodique. Ainsi, si s'annule de façon trop «aléatoire», il est possible que seules les constantes soient dans (du moins parmi les fonctions continues).

Le problème de départ est bien large...