Lois de conservation scalaire non linéaire

[Morghot]

Bonjour,

Je cherche à approcher la solution de où est donnée et où avec . est non linéaire : dans mon cas (trafic routier).

J'utilise trois schémas d'ordre 1 en temps : le schéma de Godunov (ordre 1 en espace), le schéma MUSCL avec reconstruction affine (ordre 2 en espace) et le schéma MUSCL avec reconstruction parabolique (ordre 3 en espace).

Ensuite je prends un qui est un problème de Riemann simple histoire de calculer l'erreur et d'estimer l'ordre en espace des schémas.

Je prends la conditions CFL : . Pour MUSCL ordre 2 je divise le calculé avec la CFL précédente par 2 et pour MUSCL ordre 3 je divise par 6.

Je calcule l'erreur pour les trois schémas avec la relation suivante : . J'ai l'erreur pour un nombre de points variant de 100 à 1000 par pas de 100 et j'estime l'ordre avec :

Alors voilà mon problème : mes trois schémas approchent correctement la solution exacte (que l'on connait donc pour un problème de Riemann simple). Seulement j'ai, pour certains (seulement les chocs), que l'ordre 3 est moins bon que l'ordre 2... Le schéma de Godunov est toujours moins bon ce qui est normal. Et j'obtiens n'importe quoi pour l'estimation des ordres dans tous les cas : de 0.50 à 1.10 environ suivant les pour les trois schémas (on devrait avoir un ordre proche de 1 pour Godunov, etc...).
J'ai vérifié un nombre incalculable de fois mes schémas. Notamment celui de Godunov qui est quand même pas compliqué à implémenter mais rien n'y fait. C'est pourquoi je pense que c'est la CFL qui n'est pas bonne. Au moins pour l'ordre 2 et 3. J'avoue que c'est un peu au pif la division par 2 et 6 mais c'est ce que nous a dit le prof, comme quoi ça suffisait. Je me demande aussi si mon calcul de l'erreur et/ou mon calcul de l'ordre de l'ordre n'est pas faux.

Si certains s'y connaisse en volumes finis et/ou on déjà implémenté ces schémas, votre avis m'intéresse. Si vous voulez plus d'informations sur les schémas n'hésitez pas non plus.

Merci d'avance pour votre aide.
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[Morghot]

EDIT : je suis désolé j'avais fait une recherche seulement dans mathématiques du supérieur je n'avais pas vu le sujet sur le trafic routier dans le forum dédié à la physique.

[Tryss]

Je ne connais pas franchement ces schémas, mais si tu dis qu'il y a problème uniquement pour les chocs, j'irai chercher dans cette direction là. Certains schéma ont tendance à "lisser" les solutions, ce qui ne pose pas de problème dans le cas de solutions lisses, mais peut devenir gênant dans le cadre de solutions fortement discontinues.

Dans l'idéal, il faudrait vérifier que tes u0 qui posent problème font bien partie de la classe des conditions initiales pour lequel ton problème converge. Par exemple, si jamais on a montré que le schéma convergeait pour toute condition initiale dans H^1, si on met un échelon en entrée, on ne sait absolument pas comment/si ça va converger.

[Morghot]

Merci de ta réponse. Mes sont seulement des problèmes de Riemann simple ce qui est le plus basique donc je suis pratiquement sûr que mes schémas convergent. Il me semble que les volumes finis sont fait pour gérer ses discontinuités justement (contrairement aux éléments finis). Comme tu me le suggères, j'ai cherché dans cette direction : les chocs me donnent bien une solution discontinue pour tout temps contrairement aux détentes (dans le cas d'un problème de Riemann simple en tout cas). Je me suis dit que ça devait être ça. Mais je devrais avoir les deux schémas d'ordre 2 et d'ordre 3 équivalents et se rapprochants de Godunov dans ce cas...

[A voir en vidéo sur Futura]