Ecriture d'un entier

[anthony_unac]

Bonjour,

Je cherche des informations concernant l'écriture des entiers sous la forme : a_n a_n-1 ... a_1 a_0 telle que tous les a_i soient des puissances de deux.
Le but étant de transformer l'écriture d'un entier sous la forme d'un autre entier comportant un maximum de puissances de deux dans ses digits.

Exemple 1 :
**********
79 ne présente pas de puissance de deux dans ses digits mais il est possible de le réécrire sous la forme 100-21 notée : 1(-2)(-1)
Cette transformation présente 3 digits qui sont des puissances de deux.

Exemple 2 :
**********
14159 ne présente que 3 digits qui sont des puissances de deux.
Il est possible de maximiser le nombre de puissance de deux en procédant à la réécriture suivante : 14159=14200-41 notée : 142(-4)(-1)

Existe t il des résultats connus pour le cas général ?


Ce problème est assez rude et voici un petit exemple simple pour vous en convaincre :

Exemple 3 :
***********
63 ne présente aucune puissance de deux dans ses digits et une transformation de la forme 63=100-37 notée 1(-3)(-7) ne présente guère d'intérêt car elle comporte toujours deux digits qui ne sont pas des puissances de deux.
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[Médiat]

Bonjour,

63 = 81 - 18

[gg0]

Bonjour.

Il est difficile de t'aider car tu ne donnes pas de conditions sur les "transformations" ni de but puisque tu ne maximises pas vraiment le nombre de puissances de 2.
mais quelques remarques :
Si je comprends bien, tu ne veux que les chiffres 1, 2, 4 et 8 car sinon 79=64+16-1 n'est composé que de puissances de 2, et l'écriture binaire permet de le faire systématiquement avec une somme.
79=100-21=80-1=84-4-1
Je n'ai rien compris à ton écriture : "14200-41 notée : 142(-4)(-1)" et 101=142-41 tu l'écris comment.

Donc pour l'instant, le flou total !

[Médiat]

gg0 vient d'attirer mon attention et ma réponse précédente ne vous convient sans doute pas, est-ce que ce que vous voulez c'est écrire les entiers en base 10 en n'utilisant que les digit 1, 2, 4, 8, -1, -2, -4, -8 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[anthony_unac]

Bonjour,

63 = 81 - 18

Bien sur mais cela revient à transformer un entier comportant 2 digits qui ne sont pas des puissances de deux (63) en un non entier (disons une somme de deux entiers comportant chacun deux digits qui sont des puissances de deux). Autrement dit cela revient à un entier comportant 4 digits qui sont des puissances de deux (ce qui ne présente guère d'intéret c'est comme écrire 63=41+22)

De toute évidence, j'ai du mal à formuler mon problème mais le but étant d'aboutir (dans le cadre de l'exemple 3) à un entier comportant le moins de digits possible et que ces digits présentent un maximum de puissance de deux.
Pour simplifier le problème, on peut voir une digit qui n'est pas une puissance de deux comme l'équivalent de deux digits qui sont des puissances de deux. Ainsi 63 est équivalent "naturellement" à 4 digits qui sont des puissances de deux. Le transformer en un entier comportant 3 digits qui sont des puissance de deux serait une amélioration (contrairement à une transformation comportant 4 digits qui sont des puissances de deux qui ne présente pas d'amélioration).
La transformation optimale étant de transformer un entier de deux digits (qui ne sont pas des puissances de deux) en un "entier" de deux digits qui sont des puissances de deux comme par exemple : 36 transformable en 4(-4)

[anthony_unac]

Bonjour.

Il est difficile de t'aider car tu ne donnes pas de conditions sur les "transformations" ni de but puisque tu ne maximises pas vraiment le nombre de puissances de 2.
mais quelques remarques :
Si je comprends bien, tu ne veux que les chiffres 1, 2, 4 et 8 car sinon 79=64+16-1 n'est composé que de puissances de 2, et l'écriture binaire permet de le faire systématiquement avec une somme.
79=100-21=80-1=84-4-1
Je n'ai rien compris à ton écriture : "14200-41 notée : 142(-4)(-1)" et 101=142-41 tu l'écris comment.

Donc pour l'instant, le flou total !

14200-41 peut être notée 142(-4)(-1) précisément parce qu'il y a des zéros. C'est la clé de voûte de la transformation.
142-41 ne peut pas être réécris sous la forme d'un "entier" car il n'y a pas de zéros.
En revanche 100-41 aurait pu être réécris sous la forme 1(-4)(-1) mais ce n'est qu'une écriture.

Vous pourrez sans doute comprendre le but de toutes ces transformations à l'aide des exemples ci dessous :
XXXXX
121202115642854938.jpg

Un exemple plus complexe :
XXXXX
121205074144702692.jpg

[gg0]

Bon.

Reprenons à 0. Qu'appelles-tu "digit" ? car le mot chiffre en français est tellement plus simple que le mot anglais pour chiffre. mais si tu n'emploies pas chiffre, tu as des raisons, non ?
Je ne comprends pas ton histoire de zéros que tu as introduite sans le dire.
J'ai regardé ton premier exemple en jpg, le moins qu'on puisse dire est qu'il ne brille pas par la clarté. Toi, tu sais ce que tu fais, nous, on est réduits à imaginer.

Enfin : A quoi sert tout ça, surtout si même toi qui poses la question ne dais pas comment faire ?

[hexbinmos]

Bon.

Reprenons à 0. Qu'appelles-tu "digit" ? car le mot chiffre en français est tellement plus simple que le mot anglais pour chiffre. mais si tu n'emploies pas chiffre, tu as des raisons, non ?
Je ne comprends pas ton histoire de zéros que tu as introduite sans le dire.
J'ai regardé ton premier exemple en jpg, le moins qu'on puisse dire est qu'il ne brille pas par la clarté. Toi, tu sais ce que tu fais, nous, on est réduits à imaginer.

Enfin : A quoi sert tout ça, surtout si même toi qui poses la question ne dais pas comment faire ?

Nan mais c'est bon, on sait qu'il écrit en base 10 donc 1(-4)(-1) = 1*10^2-4*10-1 = 100-41.
Pas de problème pour comprendre ça.
Ensuite, il utilise digit parce que "chiffre" désigne un symbole. Le chiffre -4 n’existe pas, donc il dit "digit" pour montrer que c'est un "emplacement" dans un mot désignant un nombre, comme les chiffres mais là c'en n'est pas un.

Après j'ai pas compris tes feuilles.

[gg0]

Ok !

Je viens de comprendre, mais quelle énormité !! -2 n'est pas un puissance de 2.

Bon, Hexbinmos, je te laisse continuer, je n'aime pas ces fils où il faut deviner ce que veut l'auteur, qui lui-même ne sait pas encore ce qu'il veut, et qui ne répond pas vraiment aux questions qu'on lui pose, mais reste dans sa bulle.

Cordialement.

[Médiat]

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