Bonjour,
Un résultat classique sur les graphes infinis est que si tous les sous-graphes finis d'un graphe infini sont-colorables, alors le graphe tout entier est lui-même
Un jour ou j'étais fort fatigué, il y a longtemps, quelqu'un m'a donné une soit-disant preuve de ce truc pour les graphes dénombrables, entièrement constructive et excessivement simple. Et aujourd'hui, plus moyen de m'en souvenir. L'argument était du type "on prend une coloration d'un ensemble fini de sommets et on la prolonge progressivement, en ajoutant les sommets un par un". Évidemment, dit comme ça, ça ne marche pas car rien ne nous dit qu'on pourra prolonger indéfiniment ; mais dans ça preuve, il y avait une petite subtilité qui faisait que, justement, ça marchait, ou du moins ça en avait l'air. Je me souviens que ça m'avait beaucoup étonné sur le coup et que j'avais retourné la preuve dans tous les sens sans trouver d'erreur (ce qui ne signifie pas qu'il n'y en avait pas). Et aujourd'hui, je ne vois absolument pas comment faire autrement que prendre un ultrafiltre sur le graphe et de prendre une limite de colorations quelconques, pas forcément compatibles entre elles.
Du coup, est-ce que quelqu'un parmi vous aurait déjà-vu une telle preuve constructive, ou bien au contraire aurait un bon argument pour me convaincre qu'il n'y en a pas ?
Merci !
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