Bonjour.
Je sais que les mathématiciens ont tenté de démontrer le cinquième postulat d'Euclide à partir des quatre premiers pendant longtemps, avant de développer des géométries non euclidiennes.
Mais a-t-on réellement démontré qu'il était impossible de démontrer le cinquième postulat d'Euclide à partir des quatre premiers ?
Merci.
Malheureusement, oui. Ou presque.
On le fait en construisant des modèles de géométries non euclidiennes (le cinquième postulat est faux) dans lesquels les quatre premiers postulats sont vérifiés. Donc soit la géométrie est contradictoire (le cinquième postulat est à la fois vrai et faux), soit il est indémontrable.
Cordialement.
Bonsoir,Il me semble que les 2 passages en gras sont contradictoires.Envoyé par gg0
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je ne vois pas.
J'ai seulement oublié que ces modèles sont construits dans la géométrie euclidienne.
Si la géométrie euclidienne est contradictoire (donc tout est démontrable), les modèles ne posent pas de problème. Si elle ne l'est pas, la validité des modèles montre que les 4 premiers axiomes (en fait, un peu plus) et une propriété contraire au cinquième sont cohérents, donc qu'on ne peut pas démontrer le cinquième à partir des 4 premiers.
Mais tu vas t'expliquer, et m'explique où je me trompes.
Cordialement.
NB : je ne connais pas de preuve de non contradiction de la géométrie euclidienne (non contradiction absolue, évidemment, je sais comment on la construit sur la construction des réels).
Bonsoir,
Il s'agit du très beau théorème de complétude de Gödel, tellement plus important que ceux d'incomplétudes, à mes yeux : un théorie (classique, 1er ordre) est consistante si et seulement si elle admet (au moins) un modèle.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ok,
dans le sens théorie des modèles. mais j'employais le mot au sens du dix-neuvième siècle, quand on a montré que certaines interprétations des axiomes des géométries non euclidienne dans le corpus d la géométrie euclidienne étaient valides.
Je ne connais pas assez la théorie des modèle pour comprendre en quoi une construction modélisante faite dans une théorie contradictoire pourrait rendre une autre théorie consistante.
Y a-t-il des modèle pour la géométrie plane (axiomes de Hilbert, par exemple) qui prouveraient sa consistance ?
Cordialement.
Salut , si j'ai bien compris Médiat dans une encienne discussion , le modèle est l''univers' dans lequel les axiomes sont vérifiés ,si on prouve une proposition (relation) plus générale qui n'est pas contenu dans le modèle , cette 'porposition' on peut l'ajouter comme axiome pour avoir un autre modèle .,j'éspère que je ne suis pas top loin
.
Dernière modification par azizovsky ; 07/01/2014 à 15h54.
Est-ce que IR² avec son interprétation habituel ne convient pas ? Ce qui repousse la conclusion à la consistance de l'arithmétique réelle
Dernière modification par Médiat ; 07/01/2014 à 18h31.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonsoir,Salut , si j'ai bien compris Médiat dans une encienne discussion , le modèle est l''univers' dans lequel les axiomes sont vérifiés ,si on prouve une proposition (relation) plus générale qui n'est pas contenu dans le modèle , cette 'porposition' on peut l'ajouter comme axiome pour avoir un autre modèle .
Prouver à partir de quoi ? Si c'est à partir des axiomes vérifiés par le modèle (ce qui paraît naturel), alors le modèle vérifie cette proposition.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'en étais conscient, mais c'est reculer pour mieux sauter.
Donc on ne peut (ou sait) pas prouver la consistance de la géométrie (axiomes de Hilbert) ?
Cordialement.
A ma connaissance seulement qu'elle est iso-consistante avec l'arithmétique réelle, c'est d'ailleurs un résultat dû à Hilbert lui-même.
Pour être précis, la phrase :
Dit clairement que l'on a construit un modèle, donc cela prouverait la consistance.On le fait en construisant des modèles de géométries non euclidiennes (le cinquième postulat est faux) dans lesquels les quatre premiers postulats sont vérifiés. Donc soit la géométrie est contradictoire (le cinquième postulat est à la fois vrai et faux), soit il est indémontrable.
La formulation qui ne m'aurait pas fait sursauter aurait pu être :
A partir d'un modèle supposé exister de la géométrie euclidienne on peut construire un modèle de chacune des géométries obtenues en changeant le 5ième postulat ; ce qui montre l'iso-consistance de la géométrie euclidienne et des géométries non euclidiennes (celles qui vont bien).
Encore une fois, je ne suis pas spécialiste de théorie des modèles, et le mot "modèle" a d'autres significations que celle que tu y mets. Je l'employais comme un mot de français, pas de maths.
Cordialement.
"cet après midi, j'ai joué aux boules.
- Ouvertes ou fermées ?"
Alors ne vous étonnez d'être mal compris, et du coup je ne vois pas ce que cela démontre si ce ne sont pas des mathématiques.
Bonsoir ,je crois qu'il y'a une relation avec ça:
On peut reformuler le premier théorème d'incomplétude en disant que si une théorie T satisfait les hypothèses utiles, il existe un énoncé tel que chacune des deux théories obtenues l'une en ajoutant à T cet énoncé comme axiome, l'autre en ajoutant la négation de cet énoncé, sont cohérentes. Donnons-en la démonstration.
Étant donné un énoncé G, notons non G sa négation. On montre facilement qu'un énoncé G n'est pas démontrable dans T si et seulement si la théorie T + non G (la théorie T à laquelle on ajoute l'axiome non G) est cohérente. En effet, si G est démontrable dans T, T + non G est évidemment contradictoire. Réciproquement, supposons T + non G contradictoire. Cela signifie que, dans la théorie T, on peut déduire de non G une contradiction. On en déduit que G est conséquence de T (c'est un raisonnement par contraposée).
Il est donc équivalent de dire qu'un énoncé G est indécidable dans une théorie cohérente T, et de dire que les deux théories T + non G et T + G sont cohérentes. L'énoncé G n'étant évidemment pas indécidable dans chacune de ces deux théories, on voit que la notion d'énoncé indécidable est par nature relative à une théorie donnée.
Ainsi, si G est un énoncé indécidable donné pour T par le premier théorème d'incomplétude, on aura, en appliquant à nouveau ce théorème, un nouvel énoncé indécidable dans la théorie T + G (et donc d'ailleurs indécidable aussi dans la théorie T). De fait, quand le théorème d'incomplétude s'applique à une théorie T, il s'applique à toutes les extensions cohérentes de cette théorie, tant qu'elles restent récursivement axiomatisables : il n'y a aucun moyen effectif de compléter une telle théorie
.http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._de_G%C3%B6del
Bonsoir,
J'ai du mal à comprendre, dans quel cadre vous placez-vous pour parler de consistance absolue?
Je demande ça parce que vous laissez entendre que dans ce cadre on ne sait pas si l'arithmétique réelle est consistante.
Bonsoir , G (cinquième axiome d'euclide) est un énoncé indécidable .
Bonjour , pour ceux désireux d'approfondir la question voir , géométrie supérieur de N.Efimov.
