Intégrale indéfinie qui tourne en rond

[Spac3y]

Bonjour à tous!

Voilà, ça fait une bonne heure que je m'arrache les cheveux avec cette intégrale généralisée

J'ai essayé en intégrant par parties, mais le fait que sin(x) et cos(x) soient des fonctions indéfiniment dérivable/intégrable et qu'il en va de même pour l'exponentielle, je tourne en rond. Et par substitution de variables, bah honnêtement je vois pas trop quoi choisir.

Je n'ai que la solution finale, à savoir , mais ça ne m'aide pas à grand chose
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[gg0]

Bonjour.

Il ne s'agit pas d'une intégrale indéfinie (elle a une valeur !), mais d'une intégrale généralisée.
une primitive de la fonction se calcule par une double intégration par parties, qui la redonnes. On obtient une égalité de la forme F(x)=fonction connue+kf(x)+Cte. Comme k n'est pas égal à 1, on peut en tirer la valeur de la primitive F(x) (résolution d'équation d'inconnues F(x)).

Bon travail !

[Spac3y]

Oui effectivement, j'avais bien généralisée en tête, je sais pas pourquoi c'est "indéfinie" qui est sorti à la place.
Donc j'avais effectivement commencé sur la bonne voie, j'avais fais la double intégration mais j'avais l'impression d'arriver à rien.
Maintenant j'ai un autre problème, c'est que dans mon intégrale, j'ai des cosinus et des sinus, or pour donner leur valeur en l'infini...
Mais merci déjà pour le déblocage

[gg0]

Pas de problème à l'infini, sin et cos sont bornées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Spac3y]

Alors oui elles sont bornées, mais je dois considérer les valeurs maximales ou minimales? Pour moi, une intégrale généralisée avec un sinus et/ou un cosinus va forcément diverger, puisque la limite en l'infini n'existe pas.

[gg0]

ben non ! Le produit d'une fonction bornée par une fonction qui tend vers 0 tend lui aussi vers 0 ! Propriété très classique et conséquence du théorème des ciseaux (des gendarmes).

[Spac3y]

Oui mais le problème c'est que le produit de la fonction ne tend pas vers zéro.
En effet, l'intégration me donne ça: et lorsque e^-3x tend vers l'infini, il tend vers 1.
Comme F(0)=, je peux en déduire que F(c) quand puisque je sais que la réponse est , mais sans ça, je ne vois comment arriver à ce résultat.
Ou alors je n'ai vraiment rien compris, ce qui est fort possible aussi

[gg0]

Heu...

Quand x tend vers +infini, e^(-3x) tend vers 0 (Je n'ai pas vu ce qui pourrait tendre vers 1).

Il suffit de faire le calcul, il n'y a aucun problème. Correctement, car ceci est une erreur : "Comme F(0)=, je peux en déduire que F(c) quand puisque je sais que la réponse est ". Tu aurais dû en déduire une limite nulle.

Cordialement.

[Spac3y]

Effectivement... C'est en lisant ta réponse que je vois à quel point j'ai tout inversé ._. Allez savoir comment j'étais convaincu que -3x dans e^(-3x) tendait vers zéro, et que donc e^(-3x) tendrait vers 1. Et pour mon raisonnement dans ma tête j'ai inversé "l'ordre" des intégrales (j'ai pensé F(0)-F() au lieu de F()-F(0) )

Quoiqu'il en soit, merci beaucoup !

Bonne soirée!