Points critiques et extrema liés

[Underworld26]

Bonjour !

Je bloque sur un petit exo de points critiques, j'espère que vous pourrez m'aider un peu.

Voici ma fonction :

f(x)=(x²+y²+z²)*exp(-x-y-z)

1) Montrer que f admet deux points critiques dont on donnera les coordonnées.

On suppose d'ores et déjà que f est de classe C infini par compositions de fonctions infinis.

Ensuite on sait que la fonction f admet des points critiques si son gradient = 0.

Donc je calcul mes trois dérivées partielles et j'obtiens le système suivant:


(2x - x² - y² - z² )*exp(-x-y-z)=0
(2y - x² - y² - z² )*exp(-x-y-z)=0
(2z - x² - y² - z² )*exp(-x-y-z)=0

On enlève les exponentielles et on se retrouve avec:

2x=x²+y²+z²
2y=x²+y²+z²
2z=x²+y²+z²

et là se trouve mon problème, je ne sais pas quoi faire de 2x=2y=2z=x²+y²+z²

La solution doit me sauter aux yeux pourtant...

Ensuite il faudra démontrer que f admet un minimum global en (0,0,0), calculer la matrice hessienne etc etc dont je me charge actuellement.

Merci de votre patience !
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[Underworld26]

Une solution évidente est (0,0,0), je ne trouve pas la deuxième, veuillez m'excusez du multi post.

[topmath]

Bonsoir à tous :

Bonjour !

Je bloque sur un petit exo de points critiques, j'espère que vous pourrez m'aider un peu.

Voici ma fonction :

f(x)=(x²+y²+z²)*exp(-x-y-z)

1) Montrer que f admet deux points critiques dont on donnera les coordonnées.

On suppose d'ores et déjà que f est de classe C infini par compositions de fonctions infinis.

Ensuite on sait que la fonction f admet des points critiques si son gradient = 0.

Puisquant on parle d'extrema liés donc on parle d'une fonction à plusieurs c'est à dire par contre vous vous avez mentionnez dans l'énoncé une fonction à une variable en rouge ci haut !!

Cordialement

[Underworld26]

Oui effectivement c'est bien f(x,y,z) c'est évident.

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

et là se trouve mon problème, je ne sais pas quoi faire de 2x=2y=2z=x²+y²+z²

Tu as x=y=z, donc...

Ensuite il faudra démontrer que f admet un minimum global en (0,0,0),

La fonction f etant positive, il n'y a ici rien a faire (mais rien ne t'empeche de calculer la matrice hessienne pour t'entrainer )

[Underworld26]

x=y=z mais égal aussi a (x2 + y2 + z2 )/2

Or si je prends x=1=y=z mon addition de terme au carré me donne 1,5
Je vois pas trop comment ça fonctionne

Attendez non ! Si je remplace y et z par x j'obtiens quelque chose comme ça : 3xcarré - 2x = 0
Suffit simplement ensuite de calculer le discriminant, trouver deux valeurs de x possibles et le tour est joué
Ces deux solutions de x étant égales a y et z, j'ai en réalité 3 points critiques ?

[gg0]

Heu ...

tu as trouvé deux valeurs pour x qui donnent chacune un point (la valeur de x détermine celle de y et de z).

Cordialement.

[Underworld26]

Il me semble que c'est ce que je viens de dire ?

Deux solutions x1 et x2
Déterminant 2 points critiques A(x1,y1,z1) et B(x2,y2,z2)
Avec x1=y1=z1
Idem pour x2

[gg0]

Ah !

Alors le "3" de "j'ai en réalité 3 points critiques ?" (message #6) se lit 2 ?

[Underworld26]

C'était avant que je calcule mon discriminant, je supposais 3 possibilités, mais le calcul me donnait un x=0, qui était la solution évidente, et un autre x=2/3
Enfin bref, affaire close.

Merci à tous.

[acx01b]

c'est une équation du second degré, qui a donc forcément combien de solutions ?

[Underworld26]

Et bien 2,
Mais elles auraient pu être différentes de zéro.