Compréhension du théorème de Godel ?

[FAN FAN]

Bonjour,
J'énonce le théorème de Godel tel que je l'ai compris. Pouvez-vous me dire si je l'ai véritablement compris ?

Soit S un système d'axiomes non contradictoire. Alors il existe toujours des propositions indémontrables dans ce système.
Soit P un telle proposition indémontrable.
Alors on peut engendrer deux autres systèmes d'axiomes S1 et S2 non contradictoires. S1 est obtenu en ajoutant P à S et S2 est obtenu en ajoutant nonP à S.
Sur S1 et S2 on peut ré-appliquer le théorème comme on l'a fait à S et ainsi de suite.

Merci pour vos réponses.
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[gg0]

Bonjour.

Sans être spécialiste, il me semble que Gödel ne traite pas de n'importe quel système d'axiome.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Regardez là : http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post4581290

Et pour une compréhension plus intuitive, une analogie : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3955714

[FAN FAN]

Bonjour,

Regardez là : http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post4581290

Et pour une compréhension plus intuitive, une analogie : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3955714

Merci beaucoup pour ces liens. Ils m'ont apporté une compréhension plus approfondie.
Mon énoncé du théorème est peut-être un peu simpliste mais quand même juste (?), d'après ce que j'ai pu comprendre de ces liens.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Non, les hypothèses sont essentielles, il y a des tonnes de théories qui sont complètes (sans indécidables).

Par contre votre compréhension que si f est une formule indécidable de la théorie consistante T, alors T+f et T+non f sont deux théories consistantes est correcte

[FAN FAN]

Bonjour,

Non, les hypothèses sont essentielles, il y a des tonnes de théories qui sont complètes (sans indécidables).

Par contre votre compréhension que si f est une formule indécidable de la théorie consistante T, alors T+f et T+non f sont deux théories consistantes est correcte

Alors si je modifie mon interprétation comme suit, est-ce que c'est juste ?
Soit S un système d'axiomes non contradictoire. Alors il peut exister des propositions indémontrables dans ce système.
Si une telle proposition indémontrable P existe, alors on peut engendrer deux autres systèmes d'axiomes S1 et S2 non contradictoires. S1 est obtenu en ajoutant P à S et S2 est obtenu en ajoutant nonP à S.

Je comprends de ce que vous dites qu'il y a deux sortes de systèmes d'axiomes non contradictoires, ceux ne possédant pas de propositions indécidables et ceux possédant des propositions indécidables ?
Je croyais avoir compris que tous les système d'axiomes non contradictoires comportaient des propositions indécidables ? C'était mon interprétation du théorème d'incomplétude...

[Médiat]

Oui, il existe des théories consistantes et sans indécidables, par exemple, la théorie égalitaire avec un seul élément (pas très intéressant), mais aussi la théorie des ordres totaux denses sans extremums possédant au moins 2 éléments, ou encore, l'ensembles formules vérifiées par le modèle standard de l'arithmétique ; comme je vous l'ai dit les hypothèses sont essentielles.

[FAN FAN]

D'après ce que je comprends, l'incomplétude ne concerne que les systèmes d'axiomes contenant la Théorie des nombres. C'est ces systèmes pour lesquels on peut exhiber des propositions indécidables.
De plus, je crois comprendre que l'on ne peut pas démontrer la contradiction ou la non-contradiction sans sortir d'un tel système ? La non-contradiction est elle-même indécidable ?

[Médiat]

D'après ce que je comprends, l'incomplétude ne concerne que les systèmes d'axiomes contenant la Théorie des nombres. C'est ces systèmes pour lesquels on peut exhiber des propositions indécidables.

Non, pas tous ; TOUTES les hypothèses sont essentielles

De plus, je crois comprendre que l'on ne peut pas démontrer la contradiction ou la non-contradiction sans sortir d'un tel système ? La non-contradiction est elle-même indécidable ?

Exact

[FAN FAN]

Merci beaucoup pour vos explications.
Je vais étudier ces matières à partir du livre "Le Théorème de Godel" par Nagel, Newman, Godel, Girard aux édition du seuil.

[Médiat]

J'ai lu ce livre qui a beaucoup de qualités, mais Girard adopte un vocabulaire, pour moi inacceptable en mélangeant sans les distinguer des notions syntaxiques et des notions sémantiques.

[FAN FAN]

J'ai lu ce livre qui a beaucoup de qualités, mais Girard adopte un vocabulaire, pour moi inacceptable en mélangeant sans les distinguer des notions syntaxiques et des notions sémantiques.

Une petite précision, si je n'abuse pas...
Notions syntaxiques = ce qui concerne les règles de composition des axiomes pour découvrir des théorèmes.
Notions sémantiques = ce que ces axiomes et leurs règles de compositions signifient dans un modèle particulier.
Ainsi il y a plusieurs sémantiques (plusieurs modèles) que l'on associer à un système d'axiomes donné.

[PlaneteF]

Bonjour,

(...) mais Girard adopte un vocabulaire, pour moi inacceptable en mélangeant sans les distinguer des notions syntaxiques et des notions sémantiques.

Il y a aussi son style "règlement de compte à OK Corral" qui est très caractéristique, ... très particulier ! ... que l'on retrouve pas seulement dans ce livre mais aussi dans d'autres de ses écrits et de ses conférences.

Personnellement, parfois j' "achète" car j'aime bien ce côté "sans concession", ... parfois cela peut m'agacer car quand il sort son flingue souvent il en oublie la pédagogie de son exposé.

Selon moi c'est un auteur à lire ou à écouter avec un minimum de connaissances sur le sujet, et là cela devient intéressant, mais pour une première approche, pas sûr que ce style soit le mieux adapté.

Cordialement

[Médiat]

Une petite précision, si je n'abuse pas...
Notions syntaxiques = ce qui concerne les règles de composition des axiomes pour découvrir des théorèmes.
Notions sémantiques = ce que ces axiomes et leurs règles de compositions signifient dans un modèle particulier.
Ainsi il y a plusieurs sémantiques (plusieurs modèles) que l'on associer à un système d'axiomes donné.

Absolument (petite précision : plusieurs modèles dans la plupart des cas)

[PlaneteF]

(...) mais pour une première approche, pas sûr que ce style soit le mieux adapté.

... ou du moins avec l'appui d'autres lectures ou conférences à côté.

[Médiat]

Il y a aussi son style "règlement de compte à OK Corral" qui est très caractéristique, ... très particulier ! ... que l'on retrouve pas seulement dans ce livre mais aussi dans d'autres de ses écrits et de ses conférences.

Je suis parfaitement d'accord (je l'ai déjà exprimé ici), je ne me suis placé sur un plan objectif pour éviter la polémique. (D'autant que l'on peut facilement aussi lui reprocher une suffisance certaine ) .

[S321]

Soit S un système d'axiomes non contradictoire. Alors il peut exister des propositions indémontrables dans ce système.
Si une telle proposition indémontrable P existe, alors on peut engendrer deux autres systèmes d'axiomes S1 et S2 non contradictoires. S1 est obtenu en ajoutant P à S et S2 est obtenu en ajoutant nonP à S.

Hmm, je ne suis pas convaincu que ce soit toujours vrai ça.

Dans le cas d'une théorie T qui vérifie les hypothèses de Gödel le second théorème dit qu'il existe une proposition P qui exprime la cohérence de T et que P est indécidable dans T. Ce que vous dites c'est qu'on pourrait alors obtenir une théorie T1 en ajoutant non(P) à T telle que T1 et T soient équi-cohérente.
Comme T1 affirme la non-cohérence de T ça parait difficile qu'elles soient toute deux cohérentes.

[azizovsky]

Salut , j'ai déjà poser cette question dans une autre discussion sous une autre forme et je la repose ici :
est ce que le 5ème(T)postulat d'Euclide peut être considérer comme une proposition indécidable dans la géométrie Euclidienne (4postulats+T)??? (T est ajouter comme postulats).

on'a aussi: 4postulats+ non T (géométrie de Lopatchevski)

ET 4postulats+non T (géométrie de Riemann)

le problème et qu'il y'a deux façon de faire la négation de T (pas du tiers exclu)

[azizovsky]

Hmm, je ne suis pas convaincu que ce soit toujours vrai ça.

Dans le cas d'une théorie T qui vérifie les hypothèses de Gödel le second théorème dit qu'il existe une proposition P qui exprime la cohérence de T et que P est indécidable dans T. Ce que vous dites c'est qu'on pourrait alors obtenir une théorie T1 en ajoutant non(P) à T telle que T1 et T soient équi-cohérente.
Comme T1 affirme la non-cohérence de T ça parait difficile qu'elles soient toute deux cohérentes.

Salut ,d'aprés ce que j'ai compris les deux théories T+P ET T+nonP sont cohérentes si P est indécidable.

voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._de_G%C3%B6del

.....Étant donné un énoncé G, notons non G sa négation. On montre facilement qu'un énoncé G n'est pas démontrable dans T si et seulement si la théorie T + non G (la théorie T à laquelle on ajoute l'axiome non G) est cohérente. En effet, si G est démontrable dans T, T + non G est évidemment contradictoire. Réciproquement, supposons T + non G contradictoire. Cela signifie que, dans la théorie T, on peut déduire de non G une contradiction. On en déduit que G est conséquence de T (c'est un raisonnement par contraposée).

Il est donc équivalent de dire qu'un énoncé G est indécidable dans une théorie cohérente T, et de dire que les deux théories T + non G et T + G sont cohérentes.

[azizovsky]

mais il y'a la logique classique (utilisation de Proposition contraposée dans cette démonstration): http://fr.wikipedia.org/wiki/Proposi...ntrapos%C3%A9e
dans les détails ,il y'a le
il faut un Médiat pour ce genre de question .

[Médiat]

Salut , j'ai déjà poser cette question dans une autre discussion sous une autre forme et je la repose ici :
est ce que le 5ème(T)postulat d'Euclide peut être considérer comme une proposition indécidable dans la géométrie Euclidienne (4postulats+T)??? (T est ajouter comme postulats).

on'a aussi: 4postulats+ non T (géométrie de Lopatchevski)

ET 4postulats+non T (géométrie de Riemann)

le problème et qu'il y'a deux façon de faire la négation de T (pas du tiers exclu)

Bonjour,

Soit G = théorie axiomatique de la géométrie sans le 5ième postulat
Soit E l'axiome qui dit que 1 et 1 seule parallèle passe par un point extérieur à une droite
Soit L l'axiome qui dit que une infinité de parallèles passent par un point extérieur à une droite
Soit R l'axiome qui dit qu'aucune parallèle ne passe par un point extérieur à une droite

Ni L ni R ne sont équivalents à non E,
E, L et R sont 3 indécidables de G,

G U non E n'est ni la géométrie de Lobatchevski ni celle de Riemann

[Médiat]

Il est donc équivalent de dire qu'un énoncé G est indécidable dans une théorie cohérente T, et de dire que les deux théories T + non G et T + G sont cohérentes.

Oui, c'est même une excellente définition de "indécidable dans T"

[azizovsky]

Bonjour,

Soit G = théorie axiomatique de la géométrie sans le 5ième postulat
Soit E l'axiome qui dit que 1 et 1 seule parallèle passe par un point extérieur à une droite
Soit L l'axiome qui dit que une infinité de parallèles passent par un point extérieur à une droite
Soit R l'axiome qui dit qu'aucune parallèle ne passe par un point extérieur à une droite

Ni L ni R ne sont équivalents à non E,
E, L et R sont 3 indécidables de G,

G U non E n'est ni la géométrie de Lobatchevski ni celle de Riemann

Bonjour ,merci Médiat pour cette symphonie de logique .