Bonjour,
Je bloque au début de mon problème... On définit un ensemble E qui contient les matrices A de M2(C) (matrices carrées d'ordre 2 dans IC) telles que A^2=Id. On me demande le nombre des classes d'équivalence de matrices emblables de E. Et donne un représentant de chaque classe.
J'arrive à en trouver quelques unes: Id, -Id, [1,0][0,-1]... Mais je ne vois vraiment pas comment trouver le nombre de classes. J'ai essayé de résoudre un système, mais ca ne donne rien.
Eric
pense au déterminant (ou à la trace du reste)
Bah je ne vois pas trop en quoi ca aide pour trouver le nombre de classes d'équivalence...
est-ce que deux matrices semblables n'ont pas le même déterminant (et même trace)?Envoyé par Eric78
Deux matrices semblables n'ont pas forcément le même déterminant, mais ont la même trace effectivement. Mais bon, il y a un paquet de matrices de même trace, et en plus, deux matrices de même trace ne sont pas forcément semblables...
qu'appelles-tu "semblables" ?
tu aurais un exemple ?
J'ai rien ditSi A=P-1BP, alors detA=det(P-1)detBdetP=detB...
Mais il n'empeche que même avec ca je vois pas comment faire!
(deux matrices A et B sont semblables s'il existe P inversible telle que A=P-1BP nan?)
mais tu sais aussi que A^2=1, ça limite un peu les déterminants possibles.
Heu...
Deux matrices semblables ont le même déterminant.
De plus, si A^2 = Id, alors A est diagonalisable. En effet, elle est trigonalisable, disons, sur C, et ses valeurs propres sont des racines de 1.
Donc, c'est semblabe (dans C) à une matrice de la forme (1,0;0,-1) (puisqu'alors elle est diagonalisable) ou (1,1;0,1), ou (-1,0;0,-1) ou (-1,1;0,-1) ou l'identité.
CQFD.
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rvz
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Je sais pas. Je me suis emporté
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rvz
J'ai du mal à comprendre pourquoi si A^2=Id, alors A est diagonalisable... Ca fait pas longtemps qu'on a fait ce chapitre, donc il doit me manquer des bases...
J'ai pas dit diagonalisable, mais trigonalisable.
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rvz
Trigonalisation ? plutôt triangulation..non ?
Et après, tu dis "et ses valeurs propres sont des racines de 1.", j'ai encore du mal à suivre, dsl...
Les termes n'ont pas tellement d'importance.
rvz tu as bien dit diagonalisable, mais c'est nécessairement le cas dans C par des arguments simples (polynôme scindé + matrice à coeff réel => pas de valeur propre complexe non réelle double).
Il me semble que les matrices 2,2 qui ont même trace et déterminant sont nécessairement semablales (je crois que c'est vrai à l'ordre 3 également)
On a alors que deux matrices qui ont les même valeurs propres sont semblables (et réciproquement)
Ainsi, on a:
1 comme valeur propre double
-1 comme valeur propre double
1 et -1 comme valeur propre
Ce qui est la même chose que ce qu'a dit RVZ au fond...
bein c'est quand même trivial
A(u)=ku pour u non nul, par définition de valeur propre.
A^2(u)=A(ku)=kA(u)=k^2u
mais A^2=id d'où k^2u=u et k^2=1
Les deux. Et aussi "triangularisation". On trouve un peu de tout.
Perso je préfère trigonalisation. Pour une fois qu'on a le choix ...
L'identité et la matrice (1,1;0,1) ne sont pas semblables mais ont même déterminant et même trace.
Effectivemnt, j'ai mis diagonalisable à la première ligne de mon poste, ce qui est faux. Il fallait lire trigonalisable.
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rvz
Oui tu as totalement raison, j'ai malheureusement confondu avec
même polynôme caractéristique et minimal
ce qui n'a vous en conviendrz, qu'un maigre rapport...
