definition integrale de Lebesgue

[DucK974]

Bonjour.
J aimerai savoir pourquoi on definit l integrale de Lebesgue pour des fonctions positives. Qu est ce qui se passerait de si mauvais si l on prenait une fonction qui change de signe ??
Merci d avance a ceux qui repondront.
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[God's Breath]

Bonjour,

J'avoue ne pas avoir vu limiter l'intégrale de Lebesgue aux fonctions positives, heureusement.

On peut bien évidemment intégrer des fonctions négatives ou de signe non constant ; c'est même indispensable si l'on veut travailler sur un espace vectoriel de fonctions et profiter des propriétés de linéarité de l'intégrale.

[DucK974]

Merci d'avoir répondu !! Mais je crois que j'ai mal posé ma question.
En effet, j'ai abordé la théorie de Lebesgue et on peut intégrer des fonctions qui changent de signe. Mais on commence d'abord par définir l'intégrale d'une fonction positive et ensuite on généralise à toutes les fonctions en disant que l'intégrale d'une fonction f qui change de signe est la différence des intégrales de f⁺ et de f^-.
Je me demandais pourquoi il n'est pas possible de définir directement l'intégrale d'une fonction quelconque, c'est à dire qui change de signe. Ou serait le problème ?

[God's Breath]

Une première réponse serait : on cherche à construire une forme linéaire positive, donc on commence par la définir sur les fonctions positives de telle sorte que l'intégrale soit alors positive.

Une autre réponse est que l'on définit toujours une intégrale sur des fonctions simples et qu'on la prolonge au maximum de fonctions possibles.

Diverses approches sont alors possibles : on commence à définir l'intégrale d'une fonction en escalier, conformément à l'intuition que l'on a d'une aire. Suivant la méthode utilisée pour le prolongement, on obtiendra l'intégrale des fonctions réglées, l'intégrale de Riemann, voire d'autres intégrales.

Pour l'intégrale de Lebesgue, on définit d'abord l'intégrale des fonctions étagées, ce qui est déjà beaucoup plus large que les fonctions en escalier, et un peu moins intuitif ; mais on se débarrasse du coup de la structure d'ordre sur le domaine d'intégration.
Ensuite, on vise le théorème de convergence monotone, donc on définit l'intégrale d'une fonction f à partir des intégrales des fonctions étagées inférieures à f : la restriction initiale aux fonctions positives permet d'assurer l'existence de telles fonctions étagées.

Enfin, une autre réponse est : parce que ça marche bien et qu'on obtient rapidement des résultats intéressants.

[A voir en vidéo sur Futura]