Intégrale de Lebesgue

[Karim35]

Bonjour à tous! Voila en ce moment en maths nous abordons les intégrales! Et par curiosité, j'aimerais avoir quelques explications sur l'intégrale de Lebesgue car je suis aller sur wiki mais j'ai pas trop compris la notion. Voila merci d'avance



Karim35,

[J0ke]

Haileau !

Alors d'un point de vue totalement pas rigoureux...
L'intégrale de Riemann consisté à encradrer la courbe par deux fonctions en escaliers très simples. On partait donc d'une subdivision de l'axe des abscisses et on calculait le tout en faisant tendre le pas de la subdivision vers 0.

Le soucis avec ce genre de procédé, c'est que l'on ne peut calculer l'intégrale que de fonctions très régulières.

Lebesgue est parti du problème inverse. Il a pris une partie de l'axe des ordonnées et a regardé quel "morceau" de l'axe des abscisses était envoyé dans cette partie.
Seulement là, le gros problème, c'était de mesurer ces morceaux de l'axe des abscisses en sachant qu'ils ont des formes très variées.

C'est sur ce principe que ce construit la théorie de Lebesgue qui permet de calculer l'intégrale de beaucoup plus de fonctions.

[chentouf]

Salut "Joker" ! c'est moi barbu !
Amicalement !

[Karim35]

Salut J0ke! merci pour l'intégrale de Riemann je vois à peu près à quoi ça correspond graphiquement ( notre introduction du chapitre sur l'intégration c'était le calcul d'aire à partir de suite définies par réccurence donc c'est un peu le même procedé) mais parcontre pour Lebesgue je vois pas trop c'est un peu flou pour moi

Karim35,

[Karim35]

Salut J0ke! merci pour l'intégrale de Riemann je vois à peu près à quoi ça correspond graphiquement ( notre introduction du chapitre sur l'intégration c'était le calcul d'aire à partir de suite définies par réccurence donc c'est un peu le même procedé) mais parcontre pour Lebesgue je vois pas trop c'est un peu flou pour moi

Karim35,

[chentouf]

Salut karim :
Voiçi un exemple concret qui represente une fonction qui n'est pas regulier du tout et qui , son etude correspond parfaitement au domaine d'integration de Lebegue :Soit une fonction numerique definit sur par :


Donc, comme tu le remarques, c'est une fonction discontinue en tout point du domaine de , et donc pas regulière, c'est à dire qu'il n'appartient pas à un avec , donc, on ne peut pas lui appliquer l'integrale de Riemann ...
On a besoin donc d'une theorie qui permet de definir l'integrale de ce types de fonctions qui s'appelle comme tu le sais, l'integrale de Lebesgue, ou de manière generale, theorie de la mesure !
Les fonctions règulières comme tu le sait se calcule à l'aide de l'integrale de Riemann, donc pas de souci la dessus :
Par exemple : qui appartient à avec ( un certain en

[Karim35]

Oki j'y vois un peu plus clair merci!


Karim,

[chentouf]

Salut karim :
Voiçi un exemple concret qui represente une fonction qui n'est pas regulier du tout et qui , son etude correspond parfaitement au domaine d'integration de Lebegue :
Soit une fonction numerique definit sur par :


Donc, comme tu le remarques, c'est une fonction discontinue en tout point du domaine de , et donc pas regulière, c'est à dire qu'il n'appartient pas à un avec ( un certain entier ) , donc, on ne peut pas lui appliquer l'integrale de Riemann ...
On a besoin donc d'une theorie qui permet de definir l'integrale de ce types de fonctions qui s'appelle comme tu le sais, l'integrale de Lebesgue, ou de manière generale, theorie de la mesure !
Les fonctions règulières comme tu le sait se calcule à l'aide de l'integrale de Riemann, donc pas de souci la dessus :
Par exemple : qui appartient à avec ...
Pour ton autre question, le calcul de l'aire est parmi les les calculs de mesures possibles en theorie de l'integration de Lebesgue ... Donc, on calcule pas que les airs à l'aide des integrales, mais on clacule aussi les volumes , les probabilités, tout le jargon et formalisme utile en physique, par exemple : le champ electrostatique, le champ magnetique, les flux de pression ... etc. donc, l'integrale de Lebesgue vient pour calculer toute sorte de mesures quelques soit sa nature dont les mesures d'airs en fait parties ...
Cordialement !

[Karim35]

Mais il y a un truc que je comprends pas c'est sur ce pdf.
http://www.umpa.ens-lyon.fr/~cvillani/Cours/PDFFILES/intro.pdf

tout à la fin , il y a les deux procédé donc celui de Riemann j'ai compris on somme tout les rectangles de base dx par f(x) pour avoir l'aire mais avec lebesgue j'ai pas l'impression qu'il "balaye" toute l'aire (il y a une partie de la courbe où il n'y a pas de rectangles...)

[Romain-des-Bois]

Bonsoir,

Soit une fonction numerique definit sur par :


Donc, comme tu le remarques, c'est une fonction discontinue en tout point du domaine de , et donc pas regulière

[Mode ON]Je la trouve plutôt régulière moi, elle est nulle partout [Mode OFF]

Romain

[chentouf]

Alors la difference entre l'integrale de Legesgue et l'integrale de Riemann est simple à voir :
Si on considère une fonction numerique quelconque definie sur
L'integrale de Riemann est definie par :

D'après ton dernier message, tu sembles connaitre ce que ça veut dire cette expression ! c'est simple :
: represente toute l'aire de la surface delimité par l'axe des abscisses, la courbe , les deux axes : et qui est :
Par contre : represente : comme tu le dis , la somme infinie des rectangles de base qui la compose : donc, ces deux membres finalement sont egales !
Alors mainteant pour l'integrale de Lebesgue c'est le contraire : c'est à dire :
Au lieu de decouper l'ensemble de depart en petits rectangles parallèles et verticales, on decoupe l'ensemble d'arrivée
en petits rectangles parallèles horizontales, tu vois la difference ? c'est une idée tellement idiote, alors qu'en réalité c'est parmi les theorie les plus remarquables et fameuse en analyse !
Maintenant, à ton avis commet formaliser ça :
On note quasiment comme ce qu'ona ecrit tout à l'heure pour l'integrale de Riemann : represente :
represente toute l'aire de la surface delimité par l'axe des abscisses, la courbe , les deux axes : et : ( tu remarques, il y'a une difference lègère entre ces deux ecritures mais ça represente toujours l'aire qu'il y'a au dessus de la courbe de comme tu le sais )
Alors, que serait le deuxième membre de l'egalité à ton avis d'après ce que j't'ai expliqué tout à l'heure : ce sera simpelemnt la somme infinie de ces petits rectangles parallèles verticaux", on note ça par :
Ces deux expressions sont finalement egales !
On note souvent : avec $ \lambda_{k} $ sillonne un domaine de l'ensemble d'arrivée et se lit pour le cas de , la longueur de la partie qui est l'image reciproque du singleton par !Pour le cas des fonctions reguliers ces deux types d'integrales coincident ! par contre pour les intrales qui ne sont pas reguliers on utilise celui de Lebesgue pour le calculer !
Cordialement !
Edit : Ok Romain, j'ai ecrit trop vite, tu mets un 1 au lieu à la place de 0 karim et tu auras une fonction irregulière !

[Karim35]

Oui pour la fonction ça serait pas la fonction de Dirichlet ou un truc comme ça Sinon ouais j'ai compris maintenant! Donc pour l'intégrale de Lebesgue on prend un intervalle des images par une fonction f(grossièrement c'est comme si l'axe des ordonnées devenait l'axe des abscisse : bien sur ça n'a pas de sens ce que j'ai dit mais c'est une image) Sinon ouais j'ai un peu plus compris maintenant merci

Edit: c'est quoi f^-1 et sinon pour l'histoire de la longueur de la partie A ça correspond à l'intervalle qu'on prend en ordonnée et puis le singleton c'est quoi? j'ai besoin d'un peu plus d'explications sur ces notions

Karim35,

[chentouf]

Bonjour "karim":
Non, ce n'est pas la fonction de Dirichlet ! Ici, on s'interesse surtout à l'idée :
Pour continuer :
signifie simplement l'image reciprioque par qu'on note : de la partie : ( pour les cas de c'est en general un intervalle et est un élément de l'ensemble d'arrivée :
J'ai fait une erreur dans l'ecriture :
Il fallait que j'ecrive :

et : est la longueur de l'intervalle :
Cordialement !