Espace de Lebesgue L2

[julianinblack]

Bonjour à tous,

Certains connaissent surement l'espace de Lebesgue L2 (fonction de carré intégrable au sens de Lebesgue). Or cet espace est un Banach : il contient les limites de ses suites de Cauchy et est muni d'un produit scalaire : .
Voici ma question : implique seulement que PRESQUE PARTOUT, c'est-à-dire que on peut avoir sur des ensembles de mesure de Lebesgue nulle. Donc on n'a pas cette propriété indispensable du produit scalaire vérifiée ! pourquoi n'est ce donc pas un problème?
Merci de vos réponses
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Je n'y connais pas grand chose en théorie de la mesure mais je crois me souvenir que est un espace de classes d'équivalence de fonctions, deux fonctions étant dans la même classe si leur différence est une fonction nulle presque-partout. Du coup il n'y a effectivement qu'une seule classe vérifiant

et il n'y a pas de contradiction avec la définition du produit scalaire.

Histoire d'appuyer ce que je dis : http://mathworld.wolfram.com/L2-Space.html (lire le paragraphe « Strictly speaking, »)

[julianinblack]

Merci beaucoup pour ta réponse. En fait L2 n'est pas un espace de fonctions... ce qui fait que toute fonction nulle presque partout est forcément le représentant de la fonction nulle, on a bien la propriété du produit scalaire. De même si on a une fonction qui représente une fonction continue, alors elle est en fait continue. C'est pour ça d'ailleurs que toutes les fonctions L2 de R sont continues je crois... merci encore

[invite986312212]

C'est pour ça d'ailleurs que toutes les fonctions L2 de R sont continues je crois... merci encore

non, toute fonction mesurable n'est pas presque partout égale à une fonction continue. Par contre, le théorème de Lusin dit que si est une fonction mesurable, pour tout il existe une fonction continue telle que

[A voir en vidéo sur Futura]

[julianinblack]

Et c'est donc cette fonction qui est de meme classe que f?

[invite986312212]

il n'y a pas une fonction g : g dépend de

[invite0fb72cf8]

De même si on a une fonction qui représente une fonction continue, alors elle est en fait continue. C'est pour ça d'ailleurs que toutes les fonctions L2 de R sont continues je crois... merci encore

C'est faux. Toutes les fonctions de L2 ne sont certainement pas continues. Par exemple, une bête fonction indicatrice d'un intervalle sera représentée dans L2, mais même à une équivalence près, je vois mal comment rendre cette fonction continue.

En fait, il faut se méfier assez sérieusement des propriétés de régularité de L2. On a tendance à considérer ces fonctions comme très régulières, mais il est aisé de construire une fonction qui va diverger sur un ensemble dense de mesure nulle dans R et qui sera quand même représentée, à une équivalence près, dans L2.