Morphisme avec loi externe

[hexbinmos]

Bonjour.

Je me posais la question de savoir si ce qui suit est un morphisme :
On a (A,B,•) une structure telle que A et B sont des ensembles et • une loi de AxB dans A.

Etant données deux de ces structures (A,B,•) et (C,D,+)
f une application allant de A dans C
Il existe une application g de B dans D telle que : pour tous a de A et b de B : f(a•b)=f(a)+g(b).

On dirait pas, mais c'est ce que j'ai trouvé de plus proche d'un morphisme avec une loi externe.
Sinon, y a-t-il un terme plus général que morphisme incluant le cas des lois externes ?

Merci, bonne journée
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[Médiat]

Bonjour,

Une autre façon de voir les choses : dans le langage, vous avez un prédicat unaire noté et une fonction binaire, et vous différenciez vos deux ensembles (dans votre tête, c'est la signification du prédicat) et par :
et vous appliquez la définition usuelle d'un morphisme (avec une seule fonction ) :

et bien sûr la définition usuelle pour la fonction

[hexbinmos]

Je suis désolé mais je n'ai pas bien saisi.
Votre fonction binaire, est-ce la loi de la structure ou fait-ce parti de « la nouvelle façon de voir » en voyant ma fonction comme binaire ? Dans ce cas je ne vois pas ce qu'est son ensemble d'arrivée ni de départ :/
Et la seule définition du morphisme que je connais est celle pour les lois internes, j'avoue ne pas saisir votre « changement de point de vue » et donc ne pas savoir appliquer la définition usuelle de « morphisme » dans le cas présent.
Pardonnez. Merci beaucoup.

[Médiat]

La fonction binaire dans mon message n'est rien d'autre que votre loi (opération), mais comme on est dans le cas classique je n'ai rien dit dessus.

Malgré tout comme cette loi n'est pas définie partout, il faudrait, sans doute, utiliser une relation plutôt qu'une fonction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hexbinmos]

Donc vous définissez f sur l'union disjointe de A et B ?

[Médiat]

Donc vous définissez f sur l'union disjointe de A et B ?

Oui et Non ; Oui parce que c'est bien cela l'intention, mais non, parce justement on ne parle ni de ni de ;

L'univers est un ensemble dans un cas et dans l'autre et
Rien n'empêche d'avoir en tête que correspond à et à

[hexbinmos]

Je ne saisis pas comment on fait le lien entre ma question et votre réponse si on ne peut pas aller plus loin que « on peut y voir A » :/
Mon interrogation se fait sur «comment définissez vous votre morphisme entre les deux structures ?».
Et que sont « E » et « F » ?

[Médiat]

Soit le langage où est une relation unaire et une relation ternaire.
Soit et deux réalisations de ce langage, je noterais et les interprétations du langage dans les structure et .
Comme pour toutes les relations, est un morphisme si :

et

[PlaneteF]

Soit le langage où est une relation unaire et une relation ternaire.

Bonjour,

Juste une petite remarque d'écriture, personnellement j'aime bien la notation qui donne dans ce cas : , ceci juste pour donner les composantes de la signature (ou langage), ... ensuite on utilise et sinon l'écriture serait trop lourde !

Cordialement

[Médiat]

Bonjour,

Je ne comprends pas le en exposant.

Sinon c'est le genre de notation que j'utilise quand les prédicats ne sont pas identifiés comme par exemple, dans le cas général : , ici cela donnerait , pour cet exemple, on trouve souvent dans la littérature , mais après je ne sais plus où mettre le modèle .

PS : j'appelle cela l'arité du prédicat, et la signature, c'est l'ensemble des arités du langage.

[PlaneteF]

Je ne comprends pas le en exposant.

pour relation, ... et s'il y avait eu des fonctions et/ou des constantes, cela aurait été pour opération (fonction), et pour constante.

Exemple pour le langage des groupes : , avec en fait ^-1 à la place de mais là, à la seconde, en Latex je n'arrive pas à faire un indice et un exposant sur un exposant

[Médiat]

pour relation, ... et s'il y avait eu des fonctions et/ou des constantes, cela aurait été pour opération (fonction), et pour constante.

Exemple pour le langage des groupes : , avec en fait ^-1 à la place de mais là en Latex je ne sais pas faire un indice et un exposant sur un exposant

A ok, donc en fait ces notations sont très différentes () de mon côté j'aurais écrit , le 1er nombre en indice est un N° de séquence, et le deuxième est l'arité.

[PlaneteF]

A ok, donc en fait ces notations sont très différentes () (...)

La première (et seule ???) fois que j'ai vu cette notation, c'est dans les cours de Dehornoy que l'on trouve sur le Net, ... Il parle d'ailleurs de signature plutôt que de langage (d'autres textes parlent aussi de vocabulaire), ... Il parle aussi de réalisation ou structure, là où d'autres parlent de modèle ou encore d'interprétation.

Au début quand l'on aborde le sujet avec plusieurs cours et textes en même temps, c'est un peu dur de s'y retrouver au niveau de la terminologie

[Médiat]

Il parle aussi de réalisation ou structure, là où d'autres parlent de modèle ou encore d'interprétation.

Je fais une différence notable, pour moi une réalisation, ou une interprétation ne concerne que le langage (je n'utilise pas "signature" dans ce cas, en fait je ne me sert de "signature" que pour pouvoir comparer des "trucs" dans deux langages différents mais de même "signature" (donc avec un mapping possible entre les différents éléments des langages)), un modèle doit embarquer les axiomes, et structure est plus flou, mais plutôt dans le sens de modèle que d'interprétation.

[hexbinmos]

Soit le langage où est une relation unaire et une relation ternaire.
Soit et deux réalisations de ce langage, je noterais et les interprétations du langage dans les structure et .
Comme pour toutes les relations, est un morphisme si :

et

Pour et E et F deux réalisations
A-t-on " est un morphisme de groupe si et " ?



Je comprends donc que dans votre langage L(P,R) initial, P, en réalisation, correspond à la loi externe, mais à quoi correspond R dans une réalisation de L ?

Merci =)

[Médiat]

Pour et E et F deux réalisations
A-t-on " est un morphisme de groupe si et " ?

Les sont des fonctions, la définition d'un morphisme pour une fonction est :

et

Je comprends donc que dans votre langage L(P,R) initial, P, en réalisation, correspond à la loi externe, mais à quoi correspond R dans une réalisation de L ?

Non, est un prédicat qui identifie ce que vous appelez (et donc par complémentarité), et est la loi externe.

PS : mes réponses sont parties du présupposé que vos questions étaient pure curiosité et non pour comprendre un cours particulier ou pour faire un exercice

[hexbinmos]

Oui c'est vrai P identifie A, j'ai confondu parce que je cherchais ce qui pouvait bien correspondre à la loi qui est d'arité 2 (visiblement elle est en fait d'arité 3, mais je ne parviens pas à comprendre pourquoi)
Il s'agit de fonction dans les groupes parce que la loi est définie partout et dans l'autre de relation parce que la loi n'est pas définie partout, okay.

Mon unique but est de comprendre votre réponse, rien de plus. Mais pour comprendre votre réponse, j'essaie de faire le parallèle entre ce que vous dites sur les groupes et sa structure et la structure présente dans ce sujet. Je n'attend pas de cours particulier rassurez vous, mais n'estimez-vous pas normal que je tente de comprendre les objets avec lesquels vous apportez une réponse à mon problème ? =)

Merci à vous de me répondre ainsi, bonne journée.

[Médiat]

Oui c'est vrai P identifie A, j'ai confondu parce que je cherchais ce qui pouvait bien correspondre à la loi qui est d'arité 2 (visiblement elle est en fait d'arité 3, mais je ne parviens pas à comprendre pourquoi)

Une fonction d'arité 2 est une relation d'arité 3

Il s'agit de fonction dans les groupes parce que la loi est définie partout et dans l'autre de relation parce que la loi n'est pas définie partout, okay.

Oui, c'est bien cela

Mon unique but est de comprendre votre réponse, rien de plus. Mais pour comprendre votre réponse, j'essaie de faire le parallèle entre ce que vous dites sur les groupes et sa structure et la structure présente dans ce sujet. Je n'attend pas de cours particulier rassurez vous, mais n'estimez-vous pas normal que je tente de comprendre les objets avec lesquels vous apportez une réponse à mon problème ? =)

Pas de problème, je posais cette question parce que ma réponse est très "théorique" ; la plupart des lois externes sur lesquelles on tombe correspondent à des espaces vectoriels ou des modules, sur un même corps (ou anneau), du coup les choses sont plus simples, si vous aviez été dans ce cas là ma réponse aurait pu vous embrouiller plus qu'autre chose.

[PlaneteF]

Je fais une différence notable, pour moi une réalisation, ou une interprétation ne concerne que le langage (je n'utilise pas "signature" dans ce cas, en fait je ne me sert de "signature" que pour pouvoir comparer des "trucs" dans deux langages différents mais de même "signature" (donc avec un mapping possible entre les différents éléments des langages)), un modèle doit embarquer les axiomes, et structure est plus flou, mais plutôt dans le sens de modèle que d'interprétation.

Bonjour Médiat,

En fait la différence dont tu parles peut ne pas se traduire par 2 termes différents : J'ai là l'exemple d'un cours (bon en même temps c'est pas 15000 ) qui à partir d'un langage définit un modèle , le terme "modèle" étant employé ici dans le sens plus classique d'interprétation ou réalisation (ou même de structure ^(*)​). Ensuite peut être le modèle d'un système d'axiomes. On a bien la différence que tu évoques mais dans les 2 cas c'est le même mot "modèle" qui est utilisé.

^(*) J'ai mis "structure" avec "interprétation" et "réalisation" car dans les cours que j'ai pu vérifier et où il apparaissait, ce mot est utilisé ou évoqué comme tel. Maintenant tu disais de ton côté avoir plutôt rencontré ce mot dans le sens classique de "modèle", donc cela est effectivement flou comme tu le disais.


Cordialement

[Médiat]

Bonjour PlaneteF

En fait la différence dont tu parles peut ne pas se traduire par 2 termes différents : J'ai là l'exemple d'un cours (bon en même temps c'est pas 15000 ) qui à partir d'un langage définit un modèle , le terme "modèle" étant employé ici dans le sens plus classique d'interprétation ou réalisation (ou même de structure ^(*)​).

J'avoue n'avoir jamais vu modèle dans le sens d'interprétation d'un langage (la théorie des modèles ne parle que des modèles d'une théorie), mais si on prend soin de parler soit :

1. Modèle du langage L
2. Modèle de la théorie T

Alors il n'y a plus d'ambiguïté

Cordialement

[PlaneteF]

J'avoue n'avoir jamais vu modèle dans le sens d'interprétation d'un langage (la théorie des modèles ne parle que des modèles d'une théorie), (...)

Juste une petite remarque complémentaire : En même temps le (seul !) cours dont je parle n'est pas un cours de théorie des modèles (et le modèle n'est pas l'objet central d'étude) mais plutôt un cours orienté logique algorithmique et calculabilité.

Cdt

[PlaneteF]

(...) à partir d'un langage définit un modèle , le terme "modèle" étant employé ici dans le sens plus classique d'interprétation ou réalisation (ou même de structure ^(*)​).

A la relecture je n'aime pas cette phrase , elle est carrément ambiguë ! Donc je précise : Conformément aux échanges ci-avant, il n'est pas du tout classique ou courant d'employer le terme modèle avec le même sens qu'interprétation=réalisation.

[Médiat]

Dissimulation

[hexbinmos]

Une fonction d'arité 2 est une relation d'arité 3

J'ai un peu cherché dans les pdf et livres que j'ai trouvé, je n'ai pas compris pourquoi ça.
En plus je vois un peu une relation comme une fonction à valeur dans Vrai/Faux donc je me dis que je ne vois pas de différence formelle avec une fonction.
(tout comme une constante est une fonction d'arité 0).

[Médiat]

J'ai un peu cherché dans les pdf et livres que j'ai trouvé, je n'ai pas compris pourquoi ça.
En plus je vois un peu une relation comme une fonction à valeur dans Vrai/Faux donc je me dis que je ne vois pas de différence formelle avec une fonction.
(tout comme une constante est une fonction d'arité 0).

Une Fonction d'arité n est une partie (pas quelconque) de une relation d'arité n+1 aussi ( une réalisation du langage).

Par exemple une opération que l'on note a = b + c pourrait s'écrire sous forme de fonction : a = +(b, c), ou, sous forme de relation +(a, b, c)