Diverses questions de bases en topologie (adhérence, frontières)

[freemp]

Salut à tous.

J'aurai quelque questions assez basiques en topologie :
Mon A est un ensemble inclus dans |R^n
Je n'ai pas trouvé de formulation avec des boules pour l'adhérence sur internet, du coup ma définition est elle bonne :

x adhérent à A ssi

Ensuite, peut on dire que la frontière c'est l'adhérence privé de l’intérieur ou il existe un contre exemple chelou ?

Par ailleurs, dans mon cours il est écrit que x est un point frontière à A si :

et et

Mais pour moi il faudrai enlever le de cette définition non ?
Car si on le laisse la propriété qui dit que A est fermé si A contient sa frontière serai tout le temps vérifiée (car pour qu'un point appartienne à la frontière il doit au préalable appartenir à A, donc tout point de la frontière est dans A et donc tout ensemble est fermé ce qui est absurde).
A moins que je ne me sois embrouillé ?

Merci de vos réponses !
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[arttle]

Ta définition d'un point adhérent à un ensemble par sa caractérisation avec les boules ouvertes est bonne pour moi :
Un point est adhérent à ssi toute boule centrée en rencontre .

Après comme tu dis, la frontière c'est l'adhérence privée de l'intérieur. En fait on a mieux, l'intérieur, la frontière et l'extérieur d'un ensemble sont deux à deux disjoints et forment un recouvrement de l'espace.

Par contre ta définition de point frontière me semble erronée. Un point est un point frontière de ssi toute boule centrée sur rencontre et son complémentaire.


PS: pour les modos, la commande latex \complement ne marche pas ici ?

[freemp]

Salut.

Ouais en effet il faut remplacer A"barre" par complémentaire de A dans cette définition de la frontière.

Mais du coup tu es d'accord que je dois enlever le x€A dans cette même définition (un point frontière n'est pas forcément dans la partie ?).

Merci.

[arttle]

Oui on doit enlever le x dans A, car comme tu le dis, A ne contient pas généralement toute sa frontière.

[A voir en vidéo sur Futura]