convergence

[invite50acb955]

voila j'ai un exercice a faire je l'ai fait mais je ne suis pas sur de mon résultat es ce que quelqu'un pourrait m'aider desole pour les signes je commence juste a apprendre latex

soit la suite Wn défini par 4n/3^n pour tout entier n on a 0<n<2^n
etudier la convergence de Wn
voila comment j'ai fait
Wn=4n/3^n
on a 0<n<2^n
onc 0<4n<8^n
de plus 0<3^n<3^2^n ce qui équivaut a 0<3^n<9^n
donc 4n/3^n= 0<4n/3^n<8^n/9^n car n>0
on pose xn=0 et yn= 8^n/9^n

la suite xn est constante et égale a 0 sa limite est donc 0 elle est convergent
de plus on a Yn=8^n/9^n=(8/9)^n
donc -1<yn<1
donc la suite yn est convergente vers 0

on a donc xn<wn<yn
la suite wn est encadrée par 2suites convergentes ayant la meme limite. le théoréme des gendarmes nous permet donc de dire que Wn est convergente et a pour limite 0

merci de votre aide et encore désole pour ls caractéres des symboles j'aprends
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[invite50acb955]

personne ne peut m'aider alors

[invite6b1e2c2e]

Tu peux peut-être regarder w_n /w_{n+1} pour voir de combien tu multiplies à chaque fois.

Hint : C'est plutot petit...

__
rvz

[invite50acb955]

d'acod mais ca me dira que la suite est géometrique mais cella ne me donnera la convergence en plus démontrer que la suite est géométrique c'est la question suivante

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

on a 0<n<2^n
onc 0<4n<8^n
de plus 0<3^n<3^2^n ce qui équivaut a 0<3^n<9^n

Il va vraiment falloir que tu révises tes cours sur les puissances.
4*(2^n) n'est pas égal à 8^n
3^(2^n) n'est pas égal à 9^n
Et ensuite tu ne peux pas diviser tes inégalités comme tu le fais !

Il te suffit de dire que Wn < 4.2^n/3^n et de conclure.
Ou alors tu peux utiliser la méthode de rvz qui ne te dira pas que Wn est géométrique puisque Wn n'est pas géométrique ...

[nissart7831]

soit la suite Wn défini par 4n/3^n pour tout entier n on a 0<n<2^n
etudier la convergence de Wn
voila comment j'ai fait
Wn=4n/3^n
on a 0<n<2^n
onc 0<4n<8^n
de plus 0<3^n<3^2^n ce qui équivaut a 0<3^n<9^n
donc 4n/3^n= 0<4n/3^n<8^n/9^n car n>0
on pose xn=0 et yn= 8^n/9^n

Bonjour,

si tu veux continuer dans ta méthode, il faut corriger ta démonstration.

En effet si a < b < c alors 1/c < 1/b < 1/a (a,b,c non nuls et de même signe).
Donc si tu veux trouver un majorant de W_n, il faut que tu trouves un minorant de 3ⁿ pour en déduire un majorant de 1/3ⁿ.

Pour le numérateur de W_n, 4n, ton majorant est juste, mais attention : quand tu fais n < 2ⁿ soit 4n < 4.2ⁿ, je me demande si ensuite tu n'as pas fait 4.2ⁿ= 8ⁿ, ce qui est faux. En effet 4.2ⁿ = 2²2ⁿ=2ⁿ⁺².
Cela dit, comme j'ai suggéré, c'est vrai que 8ⁿ est un majorant de 4n et de plus pour n>1, 8ⁿ>2ⁿ⁺².

Mais le majorant (2ⁿ⁺²) peut suffire pour conclure.

[EDIT] croisement avec matthias

[invite50acb955]

d'accor je vois donc on arrive a Wn<2^n+2/3^n mias je vois pas comment je vais conclure la suite est divergente convergente vers quel point ?? de plus je crois que rzv a fait une petit confusion c'est pas wn/wn+1 mais wn+1/wn non? et meme quand on fait cela on arrive a (4n+1/3^n+1)*(3^n/4n) et la on fait quoi

[matthias]

d'accor je vois donc on arrive a Wn<2^n+2/3^n mias je vois pas comment je vais conclure la suite est divergente convergente vers quel point ??

Il faut absolument que tu mettes des parenthèses sinon on y comprend plus rien.
La suite par laquelle tu as majoré Wn est géométrique ...

de plus je crois que rzv a fait une petit confusion c'est pas wn/wn+1 mais wn+1/wn non? et meme quand on fait cela on arrive a (4n+1/3^n+1)*(3^n/4n) et la on fait quoi

rvz n'a pas fait de confusion, regarder W(n+1)/W(n) ou l'inverse, ça revient au même. De toute façon, ton énoncé te proposais d'utiliser n < 2ⁿ donc c'est ça que tu dois utiliser.
Sinon tu pourrais simplifier en (n+1)/3n <= 2/3

[invite50acb955]

j'y comprend plus rien du tout comment je dois faire pour trouver la convergence de cette suite et dire vers quel réel elle converge???

[nissart7831]

d'accor je vois donc on arrive a Wn<2^n+2/3^n

Donc W_n< 4.(2/3)ⁿ
Donc ...

[invite50acb955]

Donc W_n< 4.(2/3)ⁿ
Donc ...

donc je vois rien ddu tout dsl

[matthias]

Tu avais pourtant fait la même chose avec (8/9)^n non ?

[nissart7831]

donc je vois rien ddu tout dsl

Le majorant n'est pas une suite qui tend vers 0 ?

[EDIT] croisement avec ce que te rappelle matthias

[invite50acb955]

je ne saisa pas je suis en première s avec une prof de mathsminable majorant et minorant pas connue au bataillons es ce que vous pourriez m'aidez a reprendre depuis le départ on a donc 0<n<2^n et 4n/3^n

[nissart7831]

je ne saisa pas je suis en première s avec une prof de mathsminable majorant et minorant pas connue au bataillons es ce que vous pourriez m'aidez a reprendre depuis le départ on a donc 0<n<2^n et 4n/3^n

Je ne comprends pas bien.
Dans ton premier post, tu arrivais à conclure avec le majorant (8/9)ⁿ. Et maintenant avec 4.(2/3)ⁿ, tu ne comprends plus. Pourtant où est la différence ? Le seul apport de notre contribution, c'est que ton majorant n'en était pas un e tle nôtre oui, mais ton principe était bon. Alors qu'est ce qui te trouble ? Reprends un par un les post.

[invite50acb955]

on reprend tout
on a 0<n<2^n et wn=4n/3^n
donc on a 0<4n<4*2^n
donc on a 0<4n/3^n<4*(2/3)^n
on pose xn=0 et yn=4*(2/3)^n
de plus on a -1<yn<1 donc yn est convergente vers 0
donc la suite wn est encadrée par 2 suite convergente en 0 donc wn est convergente en 0

[nissart7831]

on reprend tout
on a 0<n<2^n et wn=4n/3^n
donc on a 0<4n<4*2^n
donc on a 0<4n/3^n<4*(2/3)^n
on pose xn=0 et yn=4*(2/3)^n
de plus on a -1<yn<1 donc yn est convergente vers 0
donc la suite wn est encadrée par 2 suite convergente en 0 donc wn est convergente en 0

Ah, tu vois quand tu veux.
petite rectification : c'est plutôt comme y_n= aⁿ avec -1<a<1 alors y_n converge vers 0 (ça doit être dans ton cours).

[matthias]

petite rectification : c'est plutôt comme y_n= aⁿ avec -1<a<1 alors y_n converge vers 0

On va même aller jusqu'à

[nissart7831]

On va même aller jusqu'à