Noyau et Image d'un endomorphisme

[Cramberry]

Bonjour,

Les endomorphismes me donnent légèrement du fil à retordre surtout lorsque l'énoncé est posé à l'inverse de l'habitude. Voici l'exercice:

E est un R-ev de dimension 3. Il possède une base B=(e1,e2,e3)

Un endormorphisme de E, f, dont la noyau est: Kerf=vect(e1+2.e3) et dont l'image est le plan vectoriel d'équation -2x+3y+z=0

A partir de ça on me demande de trouver la matrice A associée à cet endomorphisme dans la base B.

Voici ce que j'ai fait et où je reste lamentablement bloquée:

f(v) appartient à Imf donc les coordonées de f(v) peuvent s'écrire (x, y, 2x-3y)=x(1 0 2) + y(0 1 -3)=x(e1+2e3)+ y(e2-3e)
Or, (e1+2e3) appartient aussi à Kerf. [On trouve donc que Kerf inclus dans Imf]
Dans une nouvelle base B'=((e1+2e3),(e2-3e3),epsilon) je trouve une matrice A' du genre:

( 0 a b
A'= 0 c d
0 0 0)

car f(e1+2e3) appartient au noyau et f(e2-3e3) et f(epsilon3) appartenant à l'image, leur coordonnée selon epsilon 3 est nulle.

[C'est peut être très très très compliqué! ]

Je n'arrive plus à avancer!

Toute aide est la bienvenue soit en continuant cette méthode ou en recommençant une autre méthode ou avec un exemple plus simple comme vous voulez

Merci d'avance!
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[alebot]

Bonsoir,

La matrice suivante est un exemple,

qui convient. Mais ce n'est pas la seule !

Bon courage

[Cramberry]

Merci pour cet exemple mais pourrais tu expliquer ton cheminement afin que je puisse comprendre?

[gg0]

Bonjour Cramberry.

Une chose que je n'ai pas comprise :
"(x, y, 2x-3y)=x(1 0 2) + y(0 1 -3)=x(e1+2e3)+ y(e2-3e3)" (j'ai rajouté le 3 de e3 à la fin)
Faut-il comprendre que tu connaissais les coordonnées de e1, e2 et e3 auparavant ? Il aurait été utile de le dire tout de suite.

Dans ce cas, tu construis une base (f1,f2,f3) avec par exemple f1=e1+2e3, puis, après avoir vérifié que f1 est dans Im(f) (tu le dis, je te crois) en prenant un deuxième vecteur f2 de Im f, de façon que (f1,f2) soit une base de Im(f) et enfin un troisième vecteur f3, indépendant des deux premier.
Tu écris la matrice de f dans la base (f1,f2,f3), puis tu fais un changement de base.

C'est à peu près ce que tu as fait, mais ton A' est faux (c'est la troisième colonne qui est nulle, pas la troisième ligne) si ton epsilon est bien hors de Im(f).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Cramberry]

Bonjour gg0!

Eh bien la colle m'a été posée telle que: B une base de E. J'imagine alors qu'il fallait considérer que c'était la base canonique ...

Cette "méthode" m'a été "dictée" par mon professeur très peu pédagogue qui m'a peu expliqué ce qu'il attendait de moi. C'est grâce à lui que j'ai commencé à déterminer A' et donc lui qui m'a indiqué que la dernière ligne était nulle ... [car f(f2) et f(f3) ( d'après tes notations) sont des vecteurs de Im(f) dont la composante selon f3 sera toujours nulle].

Alors j'ai bien compris qu'une fois que j'aurais A' il me suffira d'utiliser la matrice de passage pour trouver la matrice A dans la base B. Cependant, comment je fais pour déterminer a,b,c et d manquant dans A'. Je ne vois pas quelle(s) condition(s) je peux "tester" sur ces réels pour coller à l'endomorphisme proposé.

[gg0]

Je me suis un peu mélangé les pinceaux.
C'est la première colonne qui est nulle puisque f(f1)=0. Et effectivement, la dernière ligne.

Mais je n'ai toujours pas compris quel est l'énoncé exact. Donc je n'irai pas plus loin.

Cordialement.

[Cramberry]

Merci quand même de t'être penché dessus. Malheureusement je n'ai pas plus d'informations :]

[alebot]

Bonjour,

Désolé de répondre si tardivement mais au cas où cette solution peut vous être utile...

Déterminer la matrice A c'est déterminer les trois vecteurs f(e1), f(e2), f(e3). Comme Kerf=vec(e1+2e3), il vient f(e3)=-f(e1)/2. Comme Imf est le plan (P) d'équation -2x+3y+z=0, les trois vecteurs doivent être choisis dans (P). Enfin, dim Imf=2, donc f(e1) et f(e2) doivent être linéairement indépendants.

Il s'agit maintenant de montrer que les trois conditions,
(1) : f(e1) et f(e2) deux vecteurs de (P),
(2) : f(e3) = -f(e1)/2
(3) : f(e1) et f(e2) linéairement indépendants
manifestement nécessaires sont aussi suffisantes. Par (1) et (2), il vient Imf=vec(f(e1),f(e2),f(e3)) inclus dans (P). Comme dim P = 2, par (3) on obtient Imf=(P). Par (2), clairement Kerf contient vec(e1+2e3). Enfin, par le théorème du rang, on conclut Kerf=vec(e1+2e3).

La matrice M donnée dans mon premier message est un exemple qui respecte les trois conditions.

Bonne journée