Simplicité du groupe alterné

[chr57]

Bonjour à tous,

je suis en train de travailler sur la preuve de la simplicité du groupe alterné An pour n supérieur ou égal à 5, dans le livre de D.Perrin.

Pour montrer la simplicité de A5, on fait les différents cas:

pour H s/g distingué de A5, si H contient un 3-cycle, il les contient tous (car sont conjugués dans A5), si H contient une double transposition, il les contient toutes (idem).

Enfin, si H contient un 5-cycle, pour montrer que H les contient tous, l'auteur utilise les théorèmes de Sylow.

Il met néanmoins en remarque qu'on peut s'en passer, en vérifiant que si a et b sont 2 5-cycles, alors b est conjugué à a ou a².
C'est ce point que je n'arrive pas à montrer.

On sait que 2 5-cycles a et b sont conjugués dans S5: il existe phi dans S5, b=phi a phi^-1

Si phi est dans A5, c'est bon. Sinon, je n'arrive pas à me débrouiller pour trouver un psi dans A5 (qui dépendrait a priori de phi et a) tel que: b=psi a² psi^-1.

Merci pour votre aide !
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[Seirios]

Bonsoir,

Si je note les cycles et , alors si l'on définit la bijection envoyant sur , on a . Ensuite, , et si l'on définit la bijection envoyant sur , sur , sur , sur , et sur , alors .

Ce qu'il faut maintenant montrer, c'est que ou appartient à . Pour cela, il suffit de remarquer que , où envoie sur , sur , sur , sur , et sur ; comme peut s'écrire comme le produit de trois permutations , on a la relation entre les signatures .

[chr57]

Merci pour l'idée!

Mais pour sigma, ce n'est pas plutôt:
sigma(e1)=e1
sigma(e2)=e4
sigma(e3)=e2
sigma(e4)=e5
sigma(e5)=e3

[Seirios]

Oui bien sûr.

[A voir en vidéo sur Futura]