Sur l'inégalité isopérimétrique

[chr57]

Bonjour,


je suis en train de travailler sur la preuve de l'inégalité isopérimétrique pour une courbe de Jordan f (courbe fermée simple), sur [a;b].

Dans le début de la démo, on dit que quitte à remplacer f par un paramétrage par l'abscisse curviligne, on peut supposer que f est un paramétrage normal.

Or, la propriété que je connais, qui permet de remplacer le paramétrage d'un arc par un paramétrage par l'abscisse curviligne, demande comme hypothèse que f soit régulière.

Soucis dans le résultat d'inégalité isopérimétrique (dans Zuily-Queffelec), on ne demande pas que f soit régulière dans les hypothèses.
Et par exemple, le résultat fonctionne pour l'astroïde par exemple (qui n'est pas régulière) et donc ce n'est pas un hasard, ou bien?

Merci de votre aide!
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[Tryss]

Si la courbe est régulière par morceau, ça ne pose pas de problème : tu paramètres chaque morceau par l’abscisse curviligne, puis tu recolles.

Après, si ta courbe est "pathologique" (par ex. fractale), je ne sais pas trop comment ça se passe

[toothpick-charlie]

il faut quand-même un minimum de régularité puisqu'on doit pouvoir parler de la longueur de la courbe.

[chr57]

Ah oui pardon, je suppose que la courbe est de classe C1.

Du coup, je ne comprend quand même pas: on doit demander dans les hypothèses que f soit régulière (f'(t) différent de 0 pour tout t) dans le théorème?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

Non, puisqu'on peut paramétrer toute courbe C1 par son abscisse curviligne. Le "truc", c'est que les points non réguliers sont soit isolés (quand ils correspondent à une "vraie" "irrégularité") soit il existe localement un autre paramétrage régulier.

Donc au final, on régularise le paramétrage là ou c'est possible, et on découpe en morceaux aux "vraies" "irrégularités" de la courbe.


Je pense qu'ici il faut bien séparer d'un coté le paramétrage de l'autre la courbe en tant que telle (ensemble de points du plan)

[Suite2]

C'est très intriguant, car j'écris en ce moment même un document où je démontre l'inégalité isopérimétrique... Il y en a plusieurs "versions". Le problème de cette inégalité est de donner un sens au périmètre. Pour des courbes de Jordan (C^1 par morceaux), le problème n'est pas posé. Ce n'est pas du tout un hasard que l'inégalité isopérimétrique marche pour des ouverts non réguliers... En réalité c'est un problème de définition de longueur d'un contour. Quelle est la longueur de l'ensemble triadique de Cantor ?

Pour remédier à ce problème on introduit les fonctions à variation bornée, puis les ensembles à périmètre fini (ie dont l'application caractéristique est à variation bornée). Si tu maîtrises un peu ces fonctions, je conseil le livre Weakly differentiable functions (William P. Ziemer), qui en fait une démonstration classique dans ce cadre. En complément, il n'est pas mauvais de regarder "la référence ultime" Evans&Gariepy Measure Theory and fine proprieties of functions.

Tout dépend après à quel niveau tu veux démontrer cette inégalité. Dans le cas de la dimension 2, les séries de Fourier interviennent dans une preuve dûe à Fary. (La constante de l'inégalité isopérimétrique est 4pi). Sinon en toute dimension avec le formalise des fonctions à variation bornée, il suffit de régulariser le bord, appliquer les inégalité de Poincaré, puis passer à la limite.

[chr57]

Ok j'ai relu plusieurs fois ton message, et je pense en avoir compris l'idée: en gros, aux points où il y a une vraie irrégularité (type les points de rebroussement de l'astroïde par exemple), au lieu de passer sur la courbe, on fait un bricolage en ce point histoire d'effacer le rebroussement et de passer en ce point sans devoir s'arrêter, c'est ça?

Et il doit y avoir une histoire de limite qui fonctionne bien pour la longueur de la courbe soit la même j'imagine.

Ce résultat est démontrable avec des outils compliqués j'imagine?

Pour mon niveau, c'est plutôt un niveau de base sur les courbes: j'en suis à la démo du Zuily-Queffelec p.103
http://books.google.fr/books?id=Hdrg...0agreg&f=false

où ils ne se préoccupent pas du problème que je me pose...

[Suite2]

Au vu des deux premières lignes de la démonstration, il s'agit bien de la preuve dûe à Fary (ie avec les séries de Fourier). Le problème de régularité ne se pose à priori pas il me semble, puisque l'ensemble des points où gamma n'est pas dérivable est de mesure nulle. Par conséquent les problèmes de régularité n'apparaissent globalement pas.

L'inconvénient de cette preuve c'est quelle semble tirée du chapeau, et ne donne aucune information (à priori) sur l'escence de cette inégalité. En revanche, comme expliqué dans mon précédent message, les fonctions à variation bornée permettent de résoudre tous ces problèmes de régularité en un claquement de doigts. Je pense que le niveau aggrégation est largement suffisent pour aborder cette preuve. En revanche il faut du temps pour engloutir tous les abstractions qui sont faites. Aurais-tu lu le livre de Claude Zuily à propos des distributions ? Il me semble qu'après ce livre, celui de P. Ziemer ne va pas au-delà en terme de distributions. Peut-être est-il nécessaire de connaître deux trois trucs sur la topologie de Fréchet pour les distributions et voila les seuls prérequis (qui sont repris dans les premiers chapitres).

[chr57]

Mon problème n'était pas trop les points où gamma n'est pas dérivable, (je m'étais permis le confort de supposer f C1, pour éviter ce soucis), mais les points où la dérivée de f s'annulait, et d'où la discussion précédente sur la paramétrisation par l'abscisse curviligne.

Merci des infos données, mais je ne me vois pas ingurgiter une dose de nouvelles notions, fonctions à variation bornée etc en ce moment