Application lipschitzienne

[jules345]

Bonjour,

voila je dois montrer que l'application G: L^2(U) -> L^2(U) tel que G(v)(x)=g(v(x)) pour x dans U, U ouvert borné de R^n est lipschitzienne tout en sachant que g: R -> R est lipschitzienne de constante de lipschitz k j'ai écris que |G(v)(a)-G(v)(b)|=|g(v(a))-g(v(b))|<=k|v(a)-v(b)| mais je n'arrive pas à minorer cette dernière quantité...


Un indice ?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

C'est quoi, une application lipschitzienne de L^2(U) dans L^2(U) ? Une fois cette question traitée, la méthode sera claire.

Cordialement.

NB : Ce n'est pas G(v) qui doit être lipschitzienne.

[jules345]

Re,

Ben en gros je doit trouver un k positif tel que |G(v1)(x1)-G(v2)(x2)|<=k|v1(x1)-v2(x2)|

Donc si on considère |G(v1)(x1)-G(v2)(x2)|=|g(v1(x1))-g(v2(x2))|<=k|v1(x1)-v2(x2)| est-ce correct ?

[gg0]

Je ne sais pas. En tout cas, tu n'as pas défini "G lipschitzienne". Je ne sais d'ailleurs pas ce que ça veut dire dans ce cas (je connais seulement pour des applications de E dans F où E et F sont normés).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Salut , c'est la norme de G :l²--->l² comme application K-Lipschitzienne ,voir théorème de Kirszbraun :
http://www.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/n11706.pdf

[azizovsky]

Salut , même avec ça ,je n'arrive pas à comprendre ,soit G=norme càd |N(y)-N(x)|<=kN(x-y)? ,ou ??? ou c'est le théorème en haut .

[Tryss]

C'est simple : il faut montrer que quelque soient u et v des fonctions de L²(U), on a

|| G(u)-G(v) ||<K||u-v||

Et ici il n'y a presque rien à faire, juste à écrire proprement les choses

[azizovsky]

C'est simple : il faut montrer que quelque soient u et v des fonctions de L²(U), on a

|| G(u)-G(v) ||<K||u-v||

Et ici il n'y a presque rien à faire, juste à écrire proprement les choses

Merci ,oui c'est |N(y)-N(x)|<=kN(y-x)?, si k=1 ,la norme est une application 1-lipschitzienne.
proprement : .

[gg0]

Voir le message #2