méthodo : Analyse complexe

[L-etudiant]

Salut à tous,

j'aurais besoin de savoir s'il existe un plan pour attaquer ce genre de problème :

"Soit D un domaine simplement connexe inclus dans C, différent de C et soit E, sous les même hypothèses. Trouvez un biholomorphisme homographique de D sur E."

Je commencerai par introduire le théorème de représentation conforme de Riemann, qui dit qu'un tel biholomorphisme existe. Mais après, comment en trouvez un ?

Par exemple : Soit D = et soit . Trouvez un biholomorphisme homographique de D sur .

Merci !

P.S. : je demande pas spécialement la reponse à l'exemple mais une méthode.
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[azizovsky]

Salut , il y'a un théorèmeme qui peut t'aider :théorème d'uniformisation :
Soit U un ouvert simplement connexe de C différent de
C. Alors U est biholomorphiquement équivalent au disque unité ouvert D.

[L-etudiant]

@azizovsky : oui, c'est ce que j'ai appelé théoreme de reprensentation conforme de Riemann. Malheureusement, ce théoreme est un théoreme d'existence et la construction par la preuve n'explicite pas le biholomorphisme...

[azizovsky]

Salut , il faut se servir du théorème de tranformation conforme (ou biholmorphisme),il a la forme homograhique...

[A voir en vidéo sur Futura]

[L-etudiant]

Salut , il faut se servir du théorème de tranformation conforme (ou biholmorphisme),il a la forme homograhique...

Tu peux le citer ? Car j'ai la même formulation que toi en #2.

[azizovsky]

Salut , Théorème. Toute transformation conforme (ou tout biholomorphisme) du disque
unité ouvert est de la forme
où est un réel et . De manière
équivalente, on peut aussi écrire sous la forme avec

[L-etudiant]

Salut , Théorème. Toute transformation conforme (ou tout biholomorphisme) du disque
unité ouvert est de la forme
où est un réel et . De manière
équivalente, on peut aussi écrire sous la forme avec

Merci, donc, d'apres toi, une méthode pour faire l'exo, c'est d'envoyer D sur ID et E sur ID et de composé dans le bon ordre, c'est ca ?

[azizovsky]

Salut , c'est un peu ça ,puisque c'est un théorème ,donc la démonstration est ici : http://www.univ-valenciennes.fr/lama...leComplexe.pdf. théorème 6.1

[0577]

Bonjour,

par définition, une application homographique du plan complexe est une fonction de la forme
f(z) = (az+b)/(cz+d). Si on veut envoyer un domaine sur un autre par une homographie, il suffit de
trouver a,b,c,d i.e. de trouver 4 équations, ce qui est facile pour des exemples "explicites".

Pour des biholomorphismes "explicites" entre domaines "explicites", le théorème de représentation conforme de Riemann
est inutile.

Dans le cas de l'exemple, le premier domaine est l'intersection de deux disques, i.e. est délimité par deux cercles alors que le deuxième domaine est
délimité par deux droites. Sachant qu'une homographie envoie une droite sur une droite ou un cercle, c'est bien parti: il suffit de trouver une homographie
envoyant les deux droites délimitant le deuxième domaine sur les deux cercles délimitant le premier domaine.

[L-etudiant]

Bonjour,

par définition, une application homographique du plan complexe est une fonction de la forme
f(z) = (az+b)/(cz+d). Si on veut envoyer un domaine sur un autre par une homographie, il suffit de
trouver a,b,c,d i.e. de trouver 4 équations, ce qui est facile pour des exemples "explicites".

Pour des biholomorphismes "explicites" entre domaines "explicites", le théorème de représentation conforme de Riemann
est inutile.

Dans le cas de l'exemple, le premier domaine est l'intersection de deux disques, i.e. est délimité par deux cercles alors que le deuxième domaine est
délimité par deux droites. Sachant qu'une homographie envoie une droite sur une droite ou un cercle, c'est bien parti: il suffit de trouver une homographie
envoyant les deux droites délimitant le deuxième domaine sur les deux cercles délimitant le premier domaine.

Donc, en fait, tu proposes de chercher f qui va de E dans D, dans ce cas-là.
Pour le théoreme de Riemann, il est utile au contraire : il permet de s'assurer que ce qu'on cherche existe !

@azizovsky : merci pour le poly, il a l'air intéressant !

[0577]

Donc, en fait, tu proposes de chercher f qui va de E dans D, dans ce cas-là.

oui, ou de D dans E, c'est pareil.

Pour le théoreme de Riemann, il est utile au contraire : il permet de s'assurer que ce qu'on cherche existe !

Le théorème de Riemann assure l'existence d'un biholomorphisme, pas d'un biholomorphisme homographique.