Bonjour Je cherche à trouver une matrice de passage mais je ne suis vraiment pas doué avec les manipulations de matrices.
J'ai donc :
A = B*C
avec A:
[ A1
A1
A3
A4
A5
0 ]
et C :
[ C1
C2
C3
0
0
0 ]
Est-il possible de résoudre B? Et si oui comment?
Dernière modification par h.borie ; 20/05/2014 à 09h43.
Bonjour.
A priori, A est une matrice 6x6, donc il y a 36 coefficients inconnus, et A = B*C donne seulement 6 équations. Ce qui est nettement insuffisant.
Cordialement.
NB : les manipulations de base des matrices sont seulement techniques, elles ne demandent aucune intelligence, c'est d’ailleurs pourquoi elles sont très utilisées dans les ordinateurs. Il suffit d'apprendre ...
Il semble donc qu'il n'y ai aucun moyen pour résoudre la matrice B.
N'y-a-t-il aucun moyen de résoudre un système à plus d'inconnu que d'équation?
Là ça risque d'être compliquer mais si je pose comme condition :
A =d * E avec E= -grad T
d=
E =
de plus on a C = x * T
avec x :
E =
donc résoudre B avec A = B*C est-il possible?
j'ai lu en diagonale, il me semble au contraire que tu as une infinité de solutions.Envoyé par h.borie
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Tu auras peut-être un peu plus d'aide si tu expliques ce que tu veux faire. Mais à priori, il y a une infinité de matrices B possibles (on pourra fixer 30 coefficients à la valeur que l'on veut et calculer les 6 autres - sauf cas particulier).
J'essaye actuellement de simuler sur code_aster (logiciel de calcul) un comportement piézoélectrique par une simulation thermique.
Il semble que les équations de déformations soient analogue l'une à l'autre.
On se place dans le cas d'un matériau anisotrope - orthotrope. Le but est de simuler une différence de potentiel de 1V sur un élément considéré piezoélectrique en utilisant la simulation thermique.
Utilisation en effet inverse (Elec/Therm -> Meca) :
Thermique : St = C * ε + α * T
Piézoélectricité : Sp = C * ε + d * E
S : Tenseur des déformations (sans unité) Dim=[6,1]
ε : Tenseur des contraintes (Pascal) Dim=[6,1]
C : Matrice de rigidité (Pa ^ -1) Dim=[6,6]
Thermique
T : Différence de potentiel thermique ( Kelvin ) Dim=1?
α : Matrice de dilatation thermique ( K ^ -1) Dim=[6,1] avec α14=α15=α16=0
Piézoélectricité
E : Tenseur du champs électrique ( V/m ) Dim=[3,1]
d : Matrice des constantes piézoélectrique ( m/V ) Dim=[6,3]
Cependant la matrice d peut être simplifier du fait des caractéristiques du piezo.
On obtient une matrice tel que :
[0 | 0 | d31
0 | 0 | d32
0 | 0 | d33
0 | d24 | 0
d15 | 0 | 0
0 | 0 | 0]
De plus on a d31=d32 ; d15=d24.
Ce qui donne pour les déformations dues au champs électrique :
Se1 = Se2 = d31*E3 (déformation due au champs électrique longi ou trans)
Se3 = d33 * E3 (déformation due au champs électrique suivant la normal au plan)
Se4 = d15 * E2 (déformation en cisaillement suivant XY)
Se5 = d15 * E1 (déformation en cisaillement suivant XZ)
De plus on a les équation de champs:
E= − ∇V
q= −λ ∇T
On veut simuler la déformation piézoélectrique (déformations engendrées par une différence de potentiel) au moyen d'une simulation thermique (déformations engendrées par une différence de température)
Etant donné que d'un côté on a :
V --> E --> Sp (déformations dues au champs électrique crée par la différence de potentiel)
et de l'autre :
T ---------> St (déformations dues à la dilatation thermique)
Est-il donc possible de trouver une matrice de passage tel que Sp = P * St ?
Merci d'avance pour votre réponse.
Dernière modification par h.borie ; 20/05/2014 à 12h37.
Je ne comprends pas tout, mais comme la partie C * ε est la même, il suffit de simuler d * E par α * T, dont il faudra que tu comprennes la nature exacte. C'est n'importe comment la première chose à faire.
Cordialement.
Donc oui mon problème ne concerne que d * E par α * T.
J'arrive avec le logiciel à récupérer la matrice des contraintes de dilatation thermique St =α * T.
Mais on ne peut pas l'identifier directement à la matrice des contraintes piézoélectriques car les contraintes en thermiques ne sont que de type membrane cad traction-compression (longitudinalement, transversalement et dans l'épaisseur).
Comme présenté précédemment, le calcul de contraintes thermique se fait sur le potentiel de température alors que celui des contraintes piézoélectrique se font sur le champs électrique engendré par une un potentiel électrique.
On a :
E= − ∇V ---> Sp = d * E = - d * grad V
On pose V = T (différence de potentiel )
Si en plus on définit :
α1 = d31
α2 = d33
α3 = d15
--> Sp =
d31 * E3
d31 * E3
d33 * E3
d15 * E2
d15 * E1
0
et St =
d31 * T
d33 * T
d15 * T
0
0
0
est-il donc possible par une matrice de passage d'effectuer la transformation Sp = P * St?
Dernière modification par h.borie ; 20/05/2014 à 14h07.
Salut , je n'ai pas compris "changement de base '' ,le lien c'est par l'énergie libre de Gibbs : http://fr.wikipedia.org/wiki/Pi%C3%A...ectricit%C3%A9
En fait si ta matrice P est
La résolution passe par celle du système suivant
( pour simplifier je prend
le syst devient :
Tu as 6 équations et 18 inconnues.
Tu peux ramener tous les autres P_{ij}=0 pour j>=4
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
donc , tu as largement le choix pour les solutions.
mais j'ignore si tu as des contraintes spécifiques sur ta matrice de passage , liées à la modélisation physique.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Non l'énergie libre de Gibbs traite de l'entropie et de principe thermodynamique.
Dans mon cas, je ne veux pas utiliser la thermodynamique en tant que tel mais en tant que piézoélectricité inverse (si cela est possible) et pour cela il s'agirait de savoir s'il est possible de transformer la matrice St (déformation due à la dilatation thermique) en là matrice Sp (déformations due à un champs éléctrique si le potentiel thermique = potentiel électrique).
Avec le logiciel que j'utilise je peux simuler de la thermique linéaire donc récupérer les températures ( T ) aux noeuds si j'applique une température à un endroit. A partir de la j'arrive à récupérer les déformations mécaniques dues à ce différentiel de température aux noeuds (Sp = α * T) mais en thermique le cisaillement n'intervient pas. Enfin je veux récupérer les déformations pas en tant que tel mais trouver une matrice qui me permettent d'avoir les déformations équivalentes comme si le potentiel appliqué était un potentiel électrique donc récupérer Sp = P * St en considérant Sp = d * E = d * (-grad V) = - d * grad T.
J'espère être un peu plus clair dans mes intentions mais cette matrice me permettrait d'avancer considérablement plus vite dans la suite de mes travaux. Si bien sûr il est possible de la récupérer pour le cas général?
Non l'énergie libre de Gibbs traite de l'entropie et de principe thermodynamique.
Dans mon cas, je ne veux pas utiliser la thermodynamique en tant que tel mais en tant que piézoélectricité inverse (si cela est possible) et pour cela il s'agirait de savoir s'il est possible de transformer la matrice St (déformation due à la dilatation thermique) en là matrice Sp (déformations due à un champs éléctrique si le potentiel thermique = potentiel électrique).
Avec le logiciel que j'utilise je peux simuler de la thermique linéaire donc récupérer les températures ( T ) aux noeuds si j'applique une température à un endroit. A partir de la j'arrive à récupérer les déformations mécaniques dues à ce différentiel de température aux noeuds (Sp = α * T) mais en thermique le cisaillement n'intervient pas. Enfin je veux récupérer les déformations pas en tant que tel mais trouver une matrice qui me permettent d'avoir les déformations équivalentes comme si le potentiel appliqué était un potentiel électrique donc récupérer Sp = P * St en considérant Sp = d * E = d * (-grad V) = - d * grad T.
J'espère être un peu plus clair dans mes intentions mais cette matrice me permettrait d'avancer considérablement plus vite dans la suite de mes travaux. Si bien sûr il est possible de la récupérer pour le cas général?
Donc si je suis ta réflexion Ansset.
J'arrive à récupérer E = -grad T et la matrice St à chaque noeud alors:
P =
E3/T | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
E3/T | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
E3/T | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | E2/T | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | E1/T | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Cela me semble bien simple mais cela semble correct?
cela me semble convenir mathématiquement ( une des solutions possibles ) mais je n'ai pas du tout saisi ta problématique physique.
a toi de vérifier si cela fonctionne.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Salut , physiquement , la relation :"Thermique : St = C * ε + α * T" ,ne figure dans aucunes références que j'ai consulté :théorie de l'élasticité tome VII:Landau et Lifchitz ,et Méthodes de la théorie mathématique de l'élasticité tome 1 V.partton -P.perline!!! .
Salut , je l'ai trouvé ici :http://freeit.free.fr/M%E9canique%20...art1_Tome2.pdf , le lagrangien formule (5.10) et sa linéarisation géométrique (5.20) et aprés la formulation eulérienne (5.33)...., beaucoup de conditions pour l'obtenir , mais pour l'effet piézo-électrique ,la formule est générale , la condition E dérive d'un potentiél est un cas pour les applications :convertisseur piézo-éléctrique ,ou propagation des ondes éléctro-acoustique...
Dernière modification par azizovsky ; 20/05/2014 à 19h17.
Je vous remercie tous les deux.
@ Aziz
Je comprend maintenant que mon équation était fausse.
Quelle est alors l'équation de la déformation pour un matériau orthotrope soumis simplement à un chargement thermique?
Salut , pour un matériau orthotrope cest l'équation (5.33) voir http://books.google.be/books?id=q97y...otrope&f=false .(document originel)
D'accord donc cette équation nous donne la contraintes en fonction de la température et des déformations:
σ=A:ε−kτ (je ne sais pas que représente exactement l'opérateur ":")
donc à l'inverse :
ε=inv(A) (σ +kτ) ou ε=inv(A)σ +kτ étant donné que inv(A) nous donne la matrice de rigidité C, on obtient pas:
ε=C (σ +kτ) ou ε=C σ +kτ
Je retombe presque sur l'équation donnée au départ mais la représentation eulerienne (représentation au cours du temps mais là on ne dépend pas du temps) nous embête-t-elle tellement que ça?
Si jusque là c'est bon je dois trouver seulement le tenseur des coefficients thermiques k qui dépend surement des coefficients de dilatations thermiques.
Salut , les deux équations ont la même structure mathématique , () est la température non pas le temps , mais faire un changement de base ??? c'est ça qui dérange !!!,on peut comparer la résistance thermique à la résistance électrique (même forme mathématique des équations ) , mais faire un changement de base !!!!
Bonsoir ,un peu de philo sur l'analogie http://books.google.be/books?id=kSFe...ysique&f=false
Je suis désolé mais j'avoue être un peu perdu là. Qu'essayes-tu de me faire comprendre?
Quel est le problème du "changement de base"?
Ce que je demande, essaye de faire, penses-tu que cela est possible?
Si maintenant j'ai :
εtherm=C σ + k τ I
εpiezo= C σ + d E
Existe-t-il un procédé mathématique qui me permettrait de passé de εtherm à εpiezo?
(chaque élément ayant les même définition que dans les messages précédents)
Si les matrice εtherm et εpiezo sont des matrice 3x3 symétriques, il est possible de trouver une matrice A tel que A = εpiezo ε-1therm.
avec :
εtherm= C σ + k τ
εpiezo= C σ + d E
C =
|C11 | C12 | C13 | 0 | 0 | 0 |
|C12 | C22 | C13 | 0 | 0 | 0 |
|C13 | C13 | C33 | 0 | 0 | 0 |
|0 | 0 | 0 | C44 | 0 | 0 |
|0 | 0 | 0 | 0 | C55 | 0 |
|0 | 0 | 0 | 0 | 0 | C66 |
σ =
|σ1|
|σ2|
|σ3|
|σ4|
|σ5|
|σ6|
k=
|k1|
|k2|
|k3|
|0 |
|0 |
|0 |
τ = scalaire
d =
|0 | 0 | 0 | 0 | d15 | 0 |
|0 | 0 | 0 | d15 | 0 | 0 |
|d13 | d13 | d33 | 0 | 0 | 0 |
E=
|E1|
|E2|
|E3|
|0 |
|0 |
|0 |
On obtient donc des matrice 6x1 ramené sous la forme :
|ε1 | ε4 | ε5 |
|ε4 | ε2 | ε6 |
|ε5 | ε6 | ε3 |
Si quelqu'un connait une solution rapide pour résoudre ce système alors je suis preneur, en attendant je fais tout à la main
Pardon d :
|0|0|d31|
|0|0|d31|
|0|0|d33|
|0|d15|0|
|d15|0|0|
|0|0|0|
et E :
|E1|
|E2|
|E3|
Les matrice ε peuvent être gardée sous la forme [6,1] ou bien être transformée en 3x3, pour l'inversion.
De plus il y à certaines conditions qui peuvent être apportées :
1°
les d31, d33, d15 et k1, k2, k3 associer les uns aux autres, cad
d31 = k1 ou k2 ou k3
d33 = k2 ou ....
d15 = k3 ou ....
à la convenance.
2°
et E = - grad T
