Topologie : définition des compacts

[Mesa9]

Bonjour à tous !

Une chose m'échappe sur la définition des compacts par l'axiome de Borel-Lebesgue :
"Soit (E,d) un espace métrique. Une partie A de E est compacte si et seulement si de tout recouvrement de A par des ouverts de E, il en existe un sous recouvrement fini."

Plus loin dans le cours (et c'est un résultat classique), une proposition énonce que les compacts de R (et même Rx...xR, n fois) sont les fermés bornés de R. Très bien.

Prenons l'intervalle ouvert à gauche et à droite ]a,b[. Considérons la suite d'ouverts (]a - n, b + n[) pour tout entier naturel n. C'est une suite d'ouverts de R. C'est aussi un recouvrement de ]a,b[ : ]a,b[ est inclu dans la réunion des ]a - n, b + n[. De plus, de cette famille d'ouverts de R on peut extraire un sous-recouvrement fini de ]a,b[ (il suffit de prendre n = 0). Donc par Borel-Lebesgue, ]a,b[ est un compact de R. Ceci est en contradiction avec la proposition citée plus haut .

Bien entendu, la contradiction est due à une erreur de ma part, mais je ne l'identifie pas pour le moment. Y-aurait-il une âme charitable pour aider un apprenti topologue ?

Merci d'avance !

Mesa9
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[Tryss]

Attention, c'est pour TOUT recouvrement.

Prend par exemple la famille des ]1/n,1[ qui recouvre ]0,1[ : peut tu en extraire un sous-recouvrement fini?

[Mesa9]

Hum, je vois. C'est clair maintenant.

Merci de ta réponse.

Mesa9

[Seirios]

Et le pour tout est important, car sinon toute partie serait compacte : un recouvrement ouvert de admettant un sous-recouvrement fini...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Mesa9.

La définition que tu cites a un petit problème : elle semble ramener la compacité à l'espace ambiant E. En fait, la compacité est une propriété de l'espace topologique A lui même (avec, dans le cas particulier d'une partie, la "topologie induite"). Donc A est compacte si de tout recouvrement de A par des ouverts de A (*) on peut extraire un recouvrement fini. Dans ce cadre, ton recouvrement est composé d'un seul ouvert, A.

Cordialement.

(*) Les ouverts de A sont les intersections de A avec les ouverts de E.

[Dicolevrai]

Salut gg0 !
La définition que tu donne là est équivalente à celle donnée par mesa9. Il faut juste dans chacun des cas, préciser ce qu'on entend par recouvrir.

Pour mesa9, recouvrir signifie contenir. Alors que dans ta définition, c'est l'égalité.

[gg0]

Effectivement, Dicolevrai,

mais il est important dans certains cas de savoir que la notion de compact ne dépend pas de ce qui se passe en dehors de la partie.

Cordialement.