Algèbre : question sur les groupes abéliens et cycliques

[Bonnie_-]

Bonsoir à tous,

Dans mon cours théorique, il n'est pas mis si le groupe produit de 2 groupes abéliens est abélien d'une part, et d'autre part, il n'est pas non plus pas mis si le groupe produit de 2 groupes cycliques est cyclique ...

En fait, comme je n'ai pas encore d'exercices sur les groupes produits, je me posais donc ces 2 questions-là pour m'entraîner mais, manque de bol, je ne connais pas la réponse. A vrai dire, je pense que la réponse est oui pour les 2 questions mais comme je ne sais pas le démontrer, ça n'a pas trop d'intérêt (ce n'est en effet pas très convainquant de se dire juste qu'on pense que oui mais qu'on n'a pas d'argument à proposer ). A part utiliser la définition du groupe produit, je suis très vite bloquée
Mais en faisant des recherches sur internet, j'ai bien vu qu'il existait un théorème qui pourrait peut-être aider mais je ne le comprends pas bien, ne sais pas l'appliquer à mon cas pour conclure quoi que ce soit, et j'ai peur qu'en réalité ce théorème ne ferait que m'embrouiller par rapport à ce dont j'ai besoin. Il s'agit du "théorème de structure des groupes abéliens de type fini " (mais en toute généralité, faut-il que mes groupes soient obligatoirement de "type fini" (=possédant un nombre fini d'éléments ?) ? Je préférerais le cas général).

Toutefois, je sais également que tout groupe cyclique est abélien, ce qui pourrait m'aider --> Démonstration :
Prenons G=<g> un groupe cyclique et g^x et g^y deux éléments appartenant à G.
Alors, on a :
Donc, G est abélien. C.Q.F.D..

Quelqu'un aurait-il l'amabilité de m'aider, s'il vous plaît ?
Merci d'avance !
-----

[gg0]

Bonjour.

Pour abélien, essaie de le prouver avec la définition du groupe produit.

Pour cyclique, une petite réflexion autour de la définition du groupe produit devrait aussi te guider.

Si tu boques vraiment à un moment, viens expliquer ce que tu as fait.

Cordialement.

[thepasboss]

Bonsoir,

Pour compléter ce qu'a dit gg0, pas besoin d'aller chercher si loin que ça avec la structure des groupes abéliens de type fini. Qui d'ailleurs ne signifie pas que l'on parle de groupe finis, mais de groupe engendré par un nombre fini d'éléments... Par contre pour les produits de groupes cyclique, le mieux c'est d'essayer de faire des exemples pour voir ce qui se passe. Et pas besoin d'aller cherche des gros exemples compliqués, il vaut toujours mieux manger du petit exemple simple avant de partir dans le compliqué... On peut facilement perdre des semaines à essayer de montre un truc faux parce qu'on a pas prit le temps de regarder les petits exemples.

Bonne nuit !

[Bonnie_-]

Merci ! J'ai suivi vos conseils et je suis arrivée à la conclusion (notamment en effet en prenant un exemple) que si le produit direct de 2 groupes est cyclique alors les 2 groupes en questions sont tous deux cycliques (si quelqu'un le souhaite, je peux prendre la peine d'écrire la démonstration). Par contre, la réciproque est fausse : il faut pour le voir, prendre le contre-exemple suivant : les 2 groupes cycliques additifs Z/2Z et Z/4Z. Ils sont tous 2 cycliques mais Z/2Z x Z/4Z n'est pas cyclique. Donc, la réponse à ma 2e question était NON.

J'ai également trouvé comment démontrer que le groupe produit de 2 groupes abéliens est abélien, et la réciproque est vraie.

Donc mes 2 problèmes sont résolus C'est vrai que parfois tenter de démontrer quelque chose avec des exemples et non prendre le cas général, ça peut aider Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]