Problème de transposée

[Alicee91]

Salut !

Je suis nouvelle sur le forum. Il est très tard mais comme ça fait déjà un certain temps que je cherchais de l'aide sur internet, je voulais pas louper l'occasion de pouvoir poser ma question sur ce site d'entre-aide qui m'a l'air très bien et complet et je serais ravie de pouvoir aider à mon tour lorsque l'occasion se présentera pour moi de le faire.

Voilà, je me demandais si quelqu'un pouvait m'aider par rapport au problème suivant et me dire déjà si je ne fais que des bêtises lorsque j'essaie de résoudre ce problème.

Enoncé : on considère la base canonique de l'espace vectoriel . Soit l'application linéaire définie par quelque soit .
a) Ecrire la matrice qui est la transposée de A par rapport à la base duale .
b) Soit la forme linéaire qui est donnée par quelque soit soit .
Ecrire les coordonnées de dans la base duale .



--> Alors moi, pour le a) en fait, je réécris A comme la matrice :
Le problème, c'est que je ne suis pas sûre qu'on peut faire ça ?


Alors la transposée sera .


b) Et bien je me demandais si je pouvais utiliser : ?

Il est tard mais demain, je me replonge sur cet exercice, surtout si quelqu'un sait m'aider car là, j'ai un peu l'impression de travailler dans le vide car je ne sais pas si c'est correct ...

Merci en tout cas par avance !
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[invite52487760]

Bonjour Alice :
Alors d'accord pour le 1), sauf qu'il faut savoir que si , alors l'application transposée de est : telle que :
Pour le b), en termes matricielles, ça donne :

[invite52487760]

Excuse moi :
Donc, la matrice de est :

Cordialement.

[invite52487760]

Oh, toujours ce problème de Latex qui m'énerve. Je n'ai pas transposé la matrice dans la seconde égalité, à toi de le faire Alice.
Cordialement.

Edit : Il y'a des erreurs dans ce que j'ai dit, je m'xcuse, ça fait longtemps que je ne fais pas ça. Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Alice.

Je pense que tu t'es trompée de matrice pour A. la matrice de A ne peut pas multiplier un vecteur ligne, donc il faut considérer (x1,x2,x3,x4) comme un vecteur colonne, et la première ligne de la matrice sera (3,0,0,0).
Traditionnellement, les coordonnées de vecteurs sont des vecteurs colonne

Cordialement.

[Dicolevrai]

Salut !
. .
Donc et peut s'écrire dans la base duale e* sous la forme:



Si on applique aux deux membres, on trouve:

Atoi de calculer à présent x1, x2, x3, x4, qui sont les coordonnées cherchées

[Alicee91]

Donc, la matrice de est :

Merci Chentouf ! Je pense que c'est bon et surtout, clair car je comprends et c'est ça l'important

Pour ggO, merci pour la remarque et c'est vrai ce que tu dis mais j'ai préféré retranscrire l'énoncé tel quel ... Et ça n'a pas empêché Chentouf de m'aider mais c'est vrai que parfois on oublie un peu ta remarque. Or, on ne devrait pas pourtant ...

Et pour Dicolevrai, merci pour tes notations. A vrai dire, ces notations m'aident aussi (surtout pour bien faire le lien direct avec la théorie).

Par contre, est-ce que ggO sous-entendrait qu'il y a une erreur dans la façon de procéder de chentouf ? Perso, la façon de faire de chentouf me plaît bien mais s'il y a une erreur (hormis le fait que je dois prendre la transposée à la fin au lieu de la matrice telle quelle dans le 2e membre), j'aimerais qu'on me dise où serait l'erreur parce que je ne la vois pas ?
Merci.

[gg0]

Je n'ai rien dit de la méthode de Chentouf.

Soit elle applique des règles de ton cours, et elle est bonne, soit non, et il ne sert à rien de copier.
Je n'ai pas touché à ce genre de question depuis des lustres, je laisse le soin à d'autres, plus au fait des notion, de répondre.

Cordialement.

[thepasboss]

Bonsoir,

écrite telle quelle la matrice est fausse. Pourquoi ? Et bien parce d'après la forme de ton expression fait que ton application linéaire n'est pas bijective (la quatrième coordonnée disparaît), et pourtant le déterminant de ta matrice est non nul...
Ou alors tu t'es trompé en recopiant la définition de A. Et aussi je valide la remarque de de Gg0, usuellement on met les vecteurs en colonne, pour ne pas avoir à faire des multiplication à gauche par des vecteurs lignes, un peu moins cohérente avec la notation "comme des fonctions" des matrices.

[invite52487760]

Excuse moi :
Donc, la matrice de est :

Voiçi comment s'écrit les choses il me semble :

J'espère que cette fois çi c'est juste.

[Alicee91]

Bonsoir !

Merci à tous pour vos remarques J'en ai bien pris note mais comme dit plus haut, je n'ai pas fait de faute en recopiant l'énoncé ... Mais je sais que ggO a raison pour l'histoire des vecteurs colonnes mais l'énoncé n'est pas écrit comme ça. Alors, j'ai quand même écrit l'énoncé tel quel.

Toutefois, vos remarques m'ont fait remettre en question certaines choses par rapport à mon problème. Alors je me demandais si vous pouviez encore m'aider si je recommence l'exercice ? je vous remercie d'avance.


Pour le a), je réécris A comme suit :


C'est pour cette raison que j'écris A sous forme matricielle comme suit : A=

et donc, dans la base duale, la transposée de A sera

Pour le b), en reprenant le développement de Chentouf et en le corrigeant un petit peu, je trouve :


Donc, la matrice de est :

Quelqu'un pourrait-il me dire si ainsi la réponse au a) et au b) est correcte ? Merci.

[invite52487760]

Salut @Alice :
J'ai écrit un autre message juste avant toi, relis le. Je pense que c'est la bonne solution. J'espère que c'est correct.
Cordialement.

[Alicee91]

Euh je reprends le b) car je viens de voir que j'ai fait des fautes et notamment oublié de réécrire le vecteur colonne dans la 2e ligne ... Désolée. Je reprends donc pour le b) :



Donc, la matrice de est :

Quelqu'un pourrait-il me dire si ainsi la réponse au a) et au b) est correcte ?
A part ça, désolée mais je n'arriverais pas à résoudre si j'utilise le vecteur colonne pour les "x_i". Mais je serais ravie qu'on me montre comment ... Pour l'instant, si on est obligé d'utiliser le vecteur colonne, alors je suis perdue

Merci d'avance pour votre aide.

N.B.: merci chentouf pour les corrections. J'avais écrit mon autre message en même temps que toi et donc, j'avais pas eu le temps de voir tes corrections. Toutefois, pour être sûre j'attends également d'autres avis sur la question car je ne vois pas comment en utilisant un vecteur colonne pour les "x_i" on pourrait résoudre le problème.

[invite52487760]

Donc, la matrice de est :

Tu fais une erreur là, car : donne une matrice au lieu d'une matrice ( matrice à une seule colonne, et à une seule ligne )

[Alicee91]

Tu fais une erreur là, car : donne une matrice au lieu d'une matrice ( matrice à une seule colonne, et à une seule ligne )

Oups quelle horreur j'ai fait comme faute ... Merci chentouf !

En effet, on a plutôt comme résultat :

J'obtiens alors comme réponse que

Mais du coup, ma réponse me semble incorrecte Quelqu'un pourrait-il me dire là où je commets des fautes, s'il vous plaît ?

[thepasboss]

Bon dans l'ordre.

1) si, il y'a une erreur dans votre énoncé : première coordonnée de la définition de A qui est un x_1 et qui devrait être un x_4. Ca n'a l'air de rien mais c'est très important ce genre de détails.

2) Je n'ai pas lu tout ce que vous faites parce que ça me parait vraiment mais alors vraiment compliqué... Pourquoi ces transposées dans tous les sens ?



On considère sa transposée.



est un endomorphisme du dual de , est un élément du dit dual. On peut le représenter dans la base dual par le vecteur colonne suivant:



Quand on vous demande de calculer , on vous demande en fait tout simplement de calculer



Rien de bien sorcier, il suffit d'appliquer les définitions.

[Alicee91]

UN TRES GRAND MERCI A TOI Thepasboss !

J'ai bien tout compris ! Je me compliquais bien la vie en fait et en plus avec des choses pas correctes ... C'est très clair comme tu as écrit Merci !