a^x=exp (x*ln(a))

**saywow** · 31/05/2014, 16h37

Salut,
je ne sais pas si je dois poster ça ici ou sur le forum de lycée (ou bien celui du primaire

) quelqu'un peut m'expliquer comment on démontre la relation a^x=exp (x*ln(a)) s'il vous plaît ?
Merci d'avance

**PA5CAL** · 31/05/2014, 16h50

Bonjour

e^x·ln(a) = e^ln(a)·x = (e^ln(a))^x = a^x

**saywow** · 31/05/2014, 16h51

aaaah merci beaucoup pour votre aide !!

**gg0** · 31/05/2014, 17h03

Bonjour.

En général, on ne le démontre pas, sauf pour x entier. Car pour a>0 et x quelconque, c'est justement la définition de a^x. Le calcul de PA5CAL suppose connues des propriétés qui sont la conséquence de cette définition. En particulier que $\text{[math]}$ .
Par contre, pour n entier, et a>0, on peut montrer que $\text{[math]}$ (*), puis étendre cette propriété à n non entier.

Cordialement.

(*) On utilise $\text{[math]}$ qui se déduit de l(a)+ln(b)=ln(ab).

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**saywow** · 31/05/2014, 17h08

Ok merci beaucoup pour votre explication
Cordialement .

**PA5CAL** · 31/05/2014, 17h42

Envoyé par gg0

c'est justement la définition de a^x

Exact. S'agissant d'une définition, j'ai juste indiqué le moyen de le retrouver d'après des propriétés connues, au moins pour les entiers.

Pour l'anecdote, pour des valeurs entière de n on peut utiliser la propriété e^a+b = e^a·e^b afin d'écrire :

e^n·y = e^y+y+…+y = e^y·e^y·…·e^y = (e^y)ⁿ

On peut alors démonter que e^n·ln(a) = aⁿ (en posant y = ln(a) et en sachant que l'exponentielle de base e est la fonction réciproque du logarithme népérien)

puis admettre que ce résultat reste validité pour n réel afin de justifier la définition aⁿ = e^n·ln(a) .

C'est comme cela qu'on me l'a appris, il y a bien longtemps. Ça revient au même, sauf qu'on passe par les exponentielles plutôt que par les logarithmes, lesquels étaient chronologiquement étudiés plus tard.

**gg0** · 31/05/2014, 17h57

Ah oui, PA5CAL,

moi je suis d'une génération qui a appris (et enseigné 20 ans) les ln avant l'exponentielle

Cordialement.

**PlaneteF** · 31/05/2014, 18h36

Bonsoir,

On peut aussi définir en premier lieu la fonction puissance (définition1 dans le doc ci-dessous), puis à partir d'elle la fonction logarithme népérien (définition2 dans le doc ci-dessous), puis à partir d'elle la fonction exponentielle (définition3 dans le doc ci-dessous).

http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/fu/fu.pdf

Cdt

**thepasboss** · 01/06/2014, 01h51

Bonsoir,

Je me demandais d'ailleurs : comment vous a été présenté le logarithme au cours de vos études ?
En effet je me souviens d'avoir eu droit à une définition brutale à base de "on définit le logarithme comme la primitive de la fonction inverse", ce qui à posteriori m'apparait comme une infamie... Pourquoi ne pas partir de "on cherche un morphisme entre (R,.) et (R,+)" (pas écrit en ces termes bien entendu) et en déduire toute la suite en supposant la fonction dérivable ? Ou alors je suis le seul à avoir eu une prof un peu "rigide" ?

En effet je récupère pas mal d'étudiants qui ne voit pas que LE truc avec le logarithme, c'est qu'il s'agit d'un morphisme et ne pense pas à utiliser cette propriété géniale.

**acx01b** · 01/06/2014, 05h48

Salut,

moi je préfère (c'est comme ça que je l'ai appris) commencer par le logarithme en base 10 et en base 2 (ainsi que la fonction puissance : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ), puis le logarithme népérien, puis enfin étudier sa réciproque et démontrer tous les théorèmes de l'exponentielle (série entière, équation différentielle, exponentielle complexe, ..). Je pense que c'est par ordre de difficulté croissante.
De toute façon ce chapitre est compliqué je trouve, un élève de terminale S qui sait démontrer tout ça on peut envisager l'ENS direct.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
changement de variable $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
changement de variable $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

C'est donc un logarithme, dans une certaine base qu'on note $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

on a la règle des logarithmes : $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

**gg0** · 01/06/2014, 10h11

Pour Thepasboss :

J'ai enseigné longtemps les logarithmes (à l'époque, le programme était ainsi fait qu'il fallait commencer par eux et la définition comme primitive) en insistant sur le fait que leur utilité historique était de transformer la multiplication en addition (j'ai été formé à la règle à calcul et aux tables de logarithmes), puis en "retrouvant" la propriété qui en fait un morphisme (sans utiliser le mot que les élèves ne connaissaient pas). Ce qui n'a jamais empêché une bonne partie de mes élèves de ne pas connaître cette propriété l'année suivante !
Mais si cette propriété s'apprenait bien à l'époque où on l'utilisait beaucoup pour calculer, elle a perdu de son importance immédiate, et de plus, dans toute une partie des mathématiques, l'aspect primitive est aussi important. Donc l'essentiel n'est pas la définition utilisée, mais la présentation effective. Même si on présente l'aspect morphisme comme définition, si le prof rate la présentation de l'importance du fait que la dérivée est 1/x, il a raté son cours ...

Cordialement.

a^x=exp (x*ln(a))

a^x=exp (x*ln(a))

Re : a^x=exp (x*ln(a))

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