Question sur les groupes.

[Bonnie_-]

Bonsoir !

Mon titre est assez explicite. En fait, je bute fortement sur une question sur les groupes. Plus précisément, la notation dans la question m'embête particulièrement car d'autres questions sur les groupes ne me posent pas ces problèmes car la notation y est plus simple.
Si quelqu'un veut bien m'aider, je serai vraiment très reconnaissante.

La question est en plusieurs parties (mais un peu toujours avec le même principe de démonstration sur les sous-groupes ou groupes distingués sauf que les notations rendent les choses plus compliquées) :

Considérons H un sous-groupe d'un groupe . Soit , on écrit

et .

(1). Montrer que est un sous-groupe de G.

(2). Montrer que , et ensuite que H est un sous-groupe distingué (normal) de N(H).

(3). Montrer que si K est un autre sous-groupe de G tel que H est un sous-groupe distingué de K, alors .

(4). Montrer que H est distingué dans G si et seulement si . Ensuite, calculer N(H) quand est le groupe symétrique sur et .



Ma "résolution" (je sais que ce n'est pas terrible du tout :'( et je m'en excuse, mais je préfère quand même vous montrer comme ça, cela vous permettra peut-être de mieux m'aider et me guider et rectifier, et puis, je trouverai impoli de ne rien proposer comme tentative de résolution) :

(1). N(H) est un sous-groupe du groupe G si et seulement s’il est non vide et stable pour les produits et les inverses. C'est-à-dire H induit un sous-groupe de G si et seulement s'il est non vide, inclus dans G et :

.

D'abord, il est immédiat que N(H) est différent de l'ensemble vide (par définition de N(H)).

Par ailleurs, on a : --> Je ne vois pas ce que je pourrais écrire d'autres à cause de la définition de N(H) qui ne dit rien de spécial, et c'est bien là le problème.

Dois-je utiliser le fait qu'un élément g de G laisse invariant tout élément de G si et seulement si g appartient au centre Z(G) de G :

?

--> Je veux dire, dois-je faire le lien de N(H) avec un centralisateur ?

(2) Je me sers de la définition de N(H) : en effet, c'est-à-dire que N(H) est l'ensemble des éléments qui ont leur classe gauche égale à leur classe droite, et donc, forcément, H est inclus dans N(H).

Ensuite, je dois montrer que le sous-groupe N(H) du groupe G est distingué dans G s'il est stable par conjugaison
:


--> là, j'ai envie de dire que par définition de N(H), c'est vrai, mais je me doute un peu qu'il faut plutôt montrer par étape que c'est vrai et qu'on ne peut pas utiliser la définition telle quelle ... Mais je ne vois pas comment
Mais en fait, ce serait plutôt parce qu'une façon équivalente de définir un sous-groupe distingué est de dire que les classes à droite et à gauche de N(H) dans G coïncident, c'est-à-dire :

--> ce qui correspondrait bien à la définition de N(H). Qu'en pensez-vous ?

D'où on aurait bien que ?

(3) Soit tel que . Comme en plus, j'ai "montré" plus haut que alors on peut en déduire que (mais je crois bien malheureusement que ma déduction ne peut être aussi directe et demanderait une démonstration ... Je ne vois pas non plus ce que je peux faire ).
Note : je sais que si G est abélien, tous ses sous-groupes sont distingués (mais ici, on ne précise pas que G et abélien ).

(4) Pour montrer que H est distingué dans G ssi , et bien, je ne vois pas ce qu'il faut démontrer car pour moi c'est la conséquence directe de la définition de N(H), mais bon, je me doute bien que je fais erreur ...

Après, pour calculer N(H) quand , je sais juste écrire ceci :

et soit .

Mais je ne vois pas quoi faire après


Je suis désolée pour le peu que je sais faire pour cet exercice, mais en même temps, c'est pourquoi j'en implore à votre précieuse aide. J'en ai vraiment besoin. Je me sens démunie face à cet exercice qui me semble interminable ...

Merci d'avance pour votre aide !
-----

[Médiat]

Bonjour,

D'abord, il est immédiat que N(H) est différent de l'ensemble vide (par définition de N(H)).

Je ne vois aucune démonstration ici, et rien d'évident, qui puisse se passer de démonstration.

Par ailleurs, on a : --> Je ne vois pas ce que je pourrais écrire d'autres à cause de la définition de N(H) qui ne dit rien de spécial, et c'est bien là le problème.

Commencez par calculer et appliquer la définition de

[Bonnie_-]

Rebonjour,

J'ai pris du temps avant répondre car j'ai essayé d'approfondir ma réponse et surtout de beaucoup l'améliorer
(Puis, ça prend aussi du temps d'écrire à chaque fois tout en LateX, mais bon, ça en vaut bien la peine ).
Mais cela ne veut pas dire que je n'ai plus besoin d'aide
Voici ce que j'espère être bien meilleur que ce que j'avais proposé dans mon premier message (et puis, j'espère aussi cela intéressera d'autres personnes qui commencent avec l'étude les groupes ) :


1) Le fait que est évident.
Sinon, ,
donc si , comme pour tout , on obtient que par associativité.
On a donc montré que . Pour l'inclusion inverse, soit .
Comme , il existe h' tel que . De même, il existe
tel que . Donc, . Donc .


2) L'inclusion est vérifiée car H est stable pour l'opération de groupe de G et contient 1 (c'est un sous-groupe...). Le fait que H soit distingué est clair : par définition de N(H), tous ses éléments g sont tels que , pour tout .

3) Si H est distingué dans K, alors pour tout et pour tout , . En particulier .
L'inclusion inverse est claire puisque . Donc, nous avons que .
En particulier, .

4) Pour la première partie de la question, (=>) : C'est une conséquence du point 3).
(<=) : conséquence du point 2).
Pour la 2e partie de la quetion, j'observe que H est un sous-groupe de . Il suffit pour ça de vérifier que (12)(12)=1, ce qui est le cas. Mais là, pour la suite, je suis vraiment bloquée

Pourriez-vous m'aider car je ne suis pas sûre et à la fin, j'ai cherché mais ne trouve pas

Merci d'avance !

[Bonnie_-]

Bonjour,

Je ne vois aucune démonstration ici, et rien d'évident, qui puisse se passer de démonstration.

Commencez par calculer et appliquer la définition de

Je pense que j'ai réussi à faire ça (dans mon 2e message cependant ...).

Toutefois, j'aimerais, si vous avez un peu de temps encore, avoir vos conseils encore par rapport à ce que j'ai écrit justement dans mon 2e message.
Un doute plane pour certaines de mes réponses même si j'ai fait davantage attention en revoyant à nouveau la théorie et essayant toujours de nouvelles choses ...
Mais là, je cale surtout pour la question 4) malgré mes efforts et comme je le disais, un doute plane pour les autres questions auxquelles j'ai à nouveau essayées de répondre ...
Pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît ? Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

1) Le fait que est évident.

Je suis d'accord, cette fois, mais la démonstration n'est pas inutile.

Sinon,

Votre démonstration ne correspond pas ce qui est demandé, à savoir
or


Je vous laisse justifier chaque étape, en particulier l'existence de , et conclure

[Bonnie_-]

Je suis d'accord, cette fois, mais la démonstration n'est pas inutile.

Votre démonstration ne correspond pas ce qui est demandé, à savoir
or


Je vous laisse justifier chaque étape, en particulier l'existence de , et conclure

Bonjour,

Merci de m'avoir répondu aussi vite

Seulement, par rapport à votre 2e remarque, honnêtement, je ne comprends pas ... J'ai l'impression d'avoir correctement déjà répondu à cela dans mon 2e message à la sous-question 1, non ? Il y a peut-être une erreur mais je ne la vois pas ?

En fait, je pensais que mes réponses aux sous-questions 1), 2) et 3) étaient correctes ... Et je voulais plutôt une aide pour la sous-question 4) car là, non seulement j'ai des doutes sur ce que j'ai écrit mais en plus, je suis vite coincée et n'arrive pas à faire ce qui est demandé pour cette question-là