probabilités

[starenergy]

Bonjour à tous!
Je n'ai aucune notion de probabilités donc je ne sais pas si la question que je vais vous poser est simple, compliquée, ni même si elle possède une solution..
En fait j'ai 31 robinets qui ont un débit de 0,2l/s
Pendant une heure, chaque robinet s'ouvre de manière aléatoire avec une probabilité égale, disons avec une période de 10s.
A la fin de cette heure, l'ensemble des robinets a déversé 5838l
Je voudrais savoir quelle est la probabilité d'avoir k robinets ouverts simultanément k compris entre 1 et 31.
Quelqu'un a t il une idée? Une méthode de résolution?
Merci d'avance
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[toothpick-charlie]

Bonjour,

tu veux dire que toutes les 10 secondes, l'état de chaque robinet est tiré au sort?

je pense qu'on peut traiter ce genre de problème, mais que les calculs peuvent être compliqués, ce qui signifie qu'on peut obtenir des valeurs approchées de la proba que tu cherches, mais que la valeur exacte peut être difficile à calculer. Sinon, ça peut se simuler très facilement, et c'est probablement ce que ferait un ingénieur.

[starenergy]

tu veux dire que toutes les 10 secondes, l'état de chaque robinet est tiré au sort?

Oui je pensais voir ça de cette manière.

Je pense aussi que cela soit compliqué... Et je ne sais pas non plus comment simuler ça :/

[ansset]

l'énoncé n'est pas d'une grande clarté
5838 l cela fait en moyenne d'env 188 l par robinet.
pendant une période de 10s un robinet délivre 2l
soit 12 l/mn s'il était ouvert en permanence.
soit 720 l/H.
est ce bien cela ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[toothpick-charlie]

En fait ce que tu dois décider, c'est si le chiffre de 5838 litres te sert juste à calculer la probabilité q'un robinet soit ouvert durant un intervalle de 10 secondes donné (via le temps moyen que passe un robinet dans l'état ouvert), ou bien si tu veux que cette valeur soit respectée. Dans le premier cas, si tu simules des robinets indépendants, à la fin tu n'auras pas exactement cette quantité, mais en répétant les simulations tu auras qu'en moyenne les robinets ont laissé couler 5838 litres. L'intérêt c'est que c'est facile de simuler des variables indépendantes. Dans le second cas, puisque la somme est fixée, tes robinets ne sont pas indépendants et c'est en effet plus difficile.

[starenergy]

Ansset, oui c'est bien cela, et effectivement désolé si l'énoncé n'est pas d'une grande clarté.

Toothpick-charlie, dans mon intérêt, il faudrait respecter le chiffre de 5838 litres. Et donc tu dis que c'est compliqué à calculer?

[ansset]

chaque robinet est ouvert en moyenne 25 % du temps.
soit 1/4 d'heure, soit 90 périodes de 10 sec.

[toothpick-charlie]

Dans une heure il y a 360 périodes de 10 secondes, et donc en tout on a 360*31=11160 périodes. Puisqu'un robinet coule à 0.2l/s durant une période de 10 secondes il coule 2 litres, et donc on a 5838/2= 2919 périodes en tout où des robinet ont coulé. Tu peux considére qu'une simulation est une matrice 360x31 qui contient 2919 "1" et 11160-2919 = 8241 "0", les places des 1 et des 0 étant aléatoires.

avec R, tu obtiens cette matrice, que j'appelle aa de la façon suivante:

aa<-matrix(sample(c(rep(1,2919),re p(0,8241)),replace=F),ncol=31)

ensuite, pour compter le nombre de robinets ouverts simultanément, tu fais

a<-apply(aa,1,sum)

si tu veux connaître la proportion du temps où, disons 10 robinets, sont ouverts simultanément, tu fais

sum(a==10)/360

ce n'est qu'une approximation de ta proba bien sûr, fondée sur une seule répétition. Il faut donc le répéter un certain nombre de fois, disons 10000 fois:

u<-0
for(i in 1:10000)
u<-u+sum(apply(matrix(sample(c(re p(1,2919),rep(0,8241)),replace =F),ncol=31),1,sum)==10)/360

u/10000 est une pas trop mauvaise approximation de ta proba.

je viens de le faire (10 secondes de calcul) et je trouve 0.11 (ça me semble beaucoup...)

[ansset]

je viens de le faire (10 secondes de calcul) et je trouve 0.11 (ça me semble beaucoup...)

tu as fait une simu pour 10 c'est ça ?
ça ne me semble pas si élevé sachant que chacun est ouvert en moyenne 1/4 h dans l'heure. ( même tronçonné en période de 10 sec )
d'ailleurs, je ne pense pas que le tronçonnage est une incidence sur la proba finale.

[ansset]

ce qui peut jouer , c'sst si il y a une grande variabilité pour chaque robinet.
par exemple la moitié qui ne s'ouvrent jamais, mais l'énoncé ne dit rien la dessus.

[toothpick-charlie]

ça donnerait ça pour toutes les valeurs de nombres de robinets ouverts (cette fois il n'y a que 1000 simulations)

[1,] 0.0008
[2,] 0.0049
[3,] 0.0164
[4,] 0.0410
[5,] 0.0786
[6,] 0.1198
[7,] 0.1513
[8,] 0.1625
[9,] 0.1462
[10,] 0.1147
[11,] 0.0766
[12,] 0.0455
[13,] 0.0239
[14,] 0.0106
[15,] 0.0041
[16,] 0.0015
[17,] 0.0004
[18,] 0.0001
[19,] 0.0000
[20,] 0.0000

au-dessus de 20 c'est 0

[starenergy]

Très beau travail Toothpick-charlie!! Ça me plait beaucoup, surtout dans l'esprit. Et sachant qu'il faudrait 8 robinets ouverts en même temps durant une heure, tes résultats semblent cohérents. Merci beaucoup!
Par contre je n'ai jamais utilisé R, mais je pense que cela soit possible à formuler sous matlab

[ansset]

ça ne semble ps incongru.
ce qui serait amusant est de comparer avec une autre simu.
chacun est ouvert exactement 1/4 d'heure avec horaires aléatoires

[toothpick-charlie]

C'est certainement faisable avec matlab, et à peu près de la même manière.

je pense aussi qu'on peut faire une analyse mathématique plus poussée (à condition de faire une approximation). Partir directement sur des simulations c'est être un peu feignant...