Exercice Complexe

[tyriser]

Bonsoir,


Je bloque sur un exercice, j'aimerais savoir si vous pourriez m'aider.
Voici donc l'énoncé

Soit n un entier non-nul, et w=e^2ipi/n (racine n-eme de l'unité)

Pour tous complexes a et b, montrer que ∏^k=n-1_k=1(a + w_^k*b) = a^n - (-b)^n

En déduire ∏^k=n-1_k=1(w^2k - 2w^kcos(t) + 1) = 2(1 - cos(nt))

Merci d'avance
-----

[Seirios]

Bonjour,

Tu pourrais commencer par regarder ce qui se passe pour de petites valeurs de n (et certainement entrevoir une récurrence).

[gg0]

Bonjour.

cet énoncé est bizarre !
Si c'est bien
ça ne marche pas pour n=1 et n=2.

Cordialement.

[tyriser]

Bonsoir Serios,

J'ai déjà tenté la récurrence, guidé par la ressemblance avec une identité remarquable, mais celle-ci n'aboutissait pas.
Toutefois je m'en va réessayer si tu m'affirmes le contraire !

L'énoncé que j'ai donné est bien celui qui est inscrit sur ma feuille, n est un entier non nul

[A voir en vidéo sur Futura]

[tyriser]

Le compteur k commence à 0 toutefois ! J'ai parlé trop vite

[Seirios]

J'ai déjà tenté la récurrence, guidé par la ressemblance avec une identité remarquable, mais celle-ci n'aboutissait pas.
Toutefois je m'en va réessayer si tu m'affirmes le contraire !

À vrai dire je n'ai pas vérifié, c'est d'ailleurs pour ça que je suis passé à côté de la remarque de gg0; je voulais surtout t'inciter à montrer que tu avais déjà réfléchi au problème. Je pense que la méthode la plus plus simple est de regarder les racines du polynôme pour le scinder.

[tyriser]

Je n'aurais pas posté ce message si je n'avais pas déjà réfléchi sur le problème pendant un moment, en vérité je ne poste qu'en dernier recours.

Je suis familier avec cette méthode, qui est de toute manière grossièrement indiquée par l'énoncé qui nous pousse vers les racines n-èmes, en fait j'ai déjà tenté quelques raisonnements avec, mais je n'ai pas abouti non plus. Pour tout vous dire, je ne pense pas être loin de la solution, mais je n'arrive pas à conclure.

[azizovsky]

Salut , si tu pose la similitude directe càd ,son rapport est égale au et aussi son angle est égale à un argument de , le produit c'est : , à toi de jouer .

[tyriser]

Bonsoir,

Nous n'avons pas abordé les similitudes en cours, je n'en connais que la définition. Pourrais-tu m'expliquer ton raisonnement ?

Merci d'avance

[Seirios]

Je suis familier avec cette méthode, qui est de toute manière grossièrement indiquée par l'énoncé qui nous pousse vers les racines n-èmes, en fait j'ai déjà tenté quelques raisonnements avec, mais je n'ai pas abouti non plus. Pour tout vous dire, je ne pense pas être loin de la solution, mais je n'arrive pas à conclure.

Si tu prends un polynôme de degré deux avec et pour racines, tu sais que ton polynôme sera de la forme . Si tu fais la même chose avec , qu'est-ce que cela donne ?

[tyriser]

Excusez-moi, j'ai du mal m'exprimer, j'ai déjà essayé cette méthode, par décomposition en éléments simples, mais je n'ai pas abouti. La décomposition de X^n - 1 donne n polynômes de degré 1 de la forme X - w_k

[gg0]

Bonjour.

Quel est le rapport entre ton w et les w_k ?

Cordialement.

[tyriser]

Dans la réponse envoyés précédemment, les w_k sont les racines n-emes de l'unité, indispensable pour scinder le polynôme Xⁿ -1, on a donc w_k = e^ipi/n

[gg0]

Heu ...tu as oublié k. Les racines n-ièmes de l'unité ne sont pas égales

[tyriser]

Oui, k va de 1 à n. Comme je ne savais pas faire d'ensemble [1;n] entier sur mon clavier, je ne l'ai pas fait, mais ce n'est pas un oubli ^^

[tyriser]

Oh ok j'ai compris ce que tu voulais dire
w_k = e^ikpi/n (faute de frappe)

[Seirios]

Excusez-moi, j'ai du mal m'exprimer, j'ai déjà essayé cette méthode, par décomposition en éléments simples, mais je n'ai pas abouti. La décomposition de X^n - 1 donne n polynômes de degré 1 de la forme X - w_k

En principe, à partir de cette expression, et en choisissant judicieusement X, tu as terminé.