Lemme d'echange

[jojoxxp4]

Bonjour,

Voila je bloque sur un exo sur les ev, et j'aurais donc besoin d'aide svp!


Soient (e₁,…,e_n) et (e′₁,…,e′_n) deux bases d'un R-espace vectoriel E.

Montrer qu'il existe j∈{1,…,n} tel que la famille (e₁,…, e_n−1, e′_j) soit encore une base de E.



Merci d'avance!
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[Seirios]

Bonjour,

Tu peux raisonner par l'absurde. Si le résultat était faux, alors pour tout , tu aurais une combinaison linéaire des qui serait nulle, avec le coefficient devant le non nul, ce qui impliquerait . Mais comme ce serait vrai pour tout , tu aurais que l'espace engendré est de dimension , ce qui est contradictoire.

[jojoxxp4]

Ahh d'accord !!
C'est beaucoup plus clair maintenant

Merci beaucoup