Suite Un+1 = (2n-1).Un

[hlbnet]

Bonjour,

Je m'intéresse aux arbres phylogénétiques qui sont des arbres binaires dont les nœuds ont tous soit 2 soit aucun fils (il n'y a pas de nœud ayant un seul fils). J'appelle "feuille" les nœuds qui n'ont aucun fils.

J'essaie de trouver combien il existe d'arbres phylogénétiques différents ayant un nombre donné n de feuilles. La condition pour affirmer que deux arbres phylogénétiques sont identiques est assez complexe, je ne sais pas l'exprimer mathématiquement, mais tant pis, vu que j'ai déjà trouvé une formule de récurrence du nombre d'arbres phylogénétiques différents ayant n feuilles.

J'ai réussi à établir que le nombre d'arbres phylogénétiques différents ayant n+1 feuilles est donné par la formule suivante:
Un+1 = (2n-1).Un
U1 = 1

Donc, il y a :
- 1 arbre phylogénétique à 1 feuille,
- 1 arbre phylogénétique à 2 feuilles,
- 3 arbres phylogénétiques à 3 feuilles,
- 15 arbres phylogénétiques à 4 feuilles,
- 135 arbres phylogénétiques à 5 feuilles,
- etc

J'aimerais bien trouver une formule directe en fonction de n, mais je sèche.
Est-ce possible ?
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[hlbnet]

Je pensais éventuellement à une formule utilisant la fonction factorielle ...

[Seirios]

Bonsoir,

Au lieu d'écrire , tu peux écrire . Cela fait apparaître le quotient de deux factoriels avec une puissance de 2.