Rotations

[polima]

Bonjour,

- Imaginons que l'on ait deux vecteurs unitaires distincts. Peut-on caractériser de manière simple tous les axes de rotation et angles associés des matrices de rotation qui telles qu'un des vecteurs est l'image de l'autre ?

Quitte à changer de repère, on peut mettre le premier à 001, ainsi la première colonne est fixée. Pour la seconde, elle est unitaire et normale à la première donc elles s'exprime comme combinaison linéaire de vecteurs normaux de la première, vecteur qu'il faut ensuite renormaliser. La troisième est le produit vectoriel des deux autres. Mais quand on récupère la valeur de l'axe et des cosinus et sinus de l'angle grâce à la formule de Rodrigues, on a quelque chose d'immangeable ...
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[polima]

132 affichages et pourtant pas la moindre piste ?

[Amanuensis]

Vous avez donné vous-même la réponse à la question, non?

[polima]

Je veux savoir s'il y a un moyen plus simple de les caractériser. En fait, je cherche à le visualiser sur l'hypersphère des quaternions unitaires associés aux rotations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Dans R^3, apparemment donc.

Pourquoi le pluriel?

En 3D, à un certain sens, il n'y a qu'une seule rotation une fois donné un couple de vecteurs unitaires distincts telle que le second vecteur soit l'image du premier par la rotation, non? (C'est la rotation d'axe colinéaire au produit vectoriel des deux vecteurs, et d'angle celui entre les vecteurs ; il y a juste ensuite quelques conventions à établir sur l'orientation.)

[azizovsky]

Bonjour,

- Imaginons que l'on ait deux vecteurs unitaires distincts. Peut-on caractériser de manière simple tous les axes de rotation et angles associés des matrices de rotation qui telles qu'un des vecteurs est l'image de l'autre ?

...

Salut , je n'ai pas compris ta question, mais c'est une question un peu générale , la sphère admet des mouvemnts (glissement)transitifs par rapport aux éléments linéaires : pour un point sur la sphère d'où 'sort' une flèche tengente ,il existe des transformations (mouvements pour les faire coïncider : groupe de rotatios) .

[polima]

Amanuensis : Non, il y en a plus. Appelons u1 le premier vecteur et u2 le second. Appliquons à u1 la rotation que tu proposes, on a bien u2. Mais on pourra encore composer avec une rotation d'angle quelconque et d'axe u2. Alors la rotation composée enverra u1 sur u2 et elle est pourtant différente de la première.

Lorsqu'on fait tourner un vecteur autour d'un axe de rotation, il ne faut pas oublier que le vecteur de départ n'est pas forcément dans le plan perpendiculaire à l'axe de rotation.

azizovsky : je ne comprend : pourquoi veut-on transformer des vecteurs tangents ? et en quoi ?

[Amanuensis]

Lorsqu'on fait tourner un vecteur autour d'un axe de rotation, il ne faut pas oublier que le vecteur de départ n'est pas forcément dans le plan perpendiculaire à l'axe de rotation.

Vu. J'aurais pu réfléchir et trouver la réponse tout seul. Plus facile de poser la question

Une autre manière de le voir est de penser à la rotation d'un 1/2 tour et d'axe u+v.

[Amanuensis]

D'ailleurs, est-ce que cela ne pourrait pas être une piste: les combinaisons linéaires (avec une pondération adaptée) entre d'une part la rotation d'axe u vect v et d'autre part la rotation d'un 1/2 tour d'axe u+v?

(C'est juste une suggestion, je n'ai pas étudié cette approche.)

[azizovsky]

Salut , j'ai dit que ta question est un peu générale , pour l'hypersphère des quaternions unitaire , tu peu faire 'correspondre' la partie réel au rayon d'une sphère et imaginaire au vecteurs du repère de Frenet :I-->N(normale),J-->T(tengente) et K--->b(torsion) , il n'est qu'une façon de visualiser (d'appréhender) .

[polima]

Alors, pour vérifier la solution de Amanuensis qui a l'intuition me paraît la bonne (merci à lui, d'ailleurs), j'ai utilisé wolfram alpha. On appelle Z l'angle entre u et v.

On se place dans la base B : (u+v normé, u-v normé, u vectoriel v}.
Tout axe w combinaison linéaire de u vectoriel v et de u+v peut s'écrire comme l'image de u vectoriel v par une rotation R d'angle x autour de l'axe u-v.

On veut une rotation d'angle y et d'axe w. Cela s'écrit simplement dans une base contenant w en troisième vecteur. Alors cette rotation exprimée dans la base B se déduit grâce à la matrice de passage R et vaut L.

Dans la base B, u vaut (cos(z/2), -sin(z/2), 0) et v vaut (cos(z/2), sin(z/2), 0). J'ai demandé à wolfram alpha de me résoudre Lu=v mais il ne me résoud que la dernière équation ...

Si vous pouviez m'aider : http://www.wolframalpha.com/input/?i...%28x%29%29%3D0

[polima]

azizovsky : Le repère de frenet n'a de sens que pour une courbe tracée dans R^3. De quelle courbe s'agit-il ? Et quand tu dis

pour l'hypersphère des quaternions unitaire , tu peu faire 'correspondre' la partie réel au rayon d'une sphère

de quelle sphère parles-tu ?

J'utilise la construction habituelle des quaternions : q= cos(alpha/2) =sin(alpha/2) * (u*i+v*j+w*k) avec alpha l'angle de rotation et (u,v,w) son axe.

[polima]

Par le calcul, il n'y a pas de solutions aux problèmes ... A votre avis, le problème se trouve dans l'intuition ou dans le raisonnement ?

[Médiat]

Bonsoir

Par le calcul, il n'y a pas de solutions aux problèmes ...

Même avec les quaternions ?

[Amanuensis]

Tentative de proposition (sans garantie):

On se place dans la base B : (u+v normé, u-v normé, u vectoriel v}.

Dans cette base, on a deux rotations solution. En notant c et s cos(z) et sin(z), pour raccourcir, l'une à pour matrice ((c, s, 0),(-s, c, 0), (0,0,1)) et l'autre ((1, 0, 0), (0, -1, 0), (0, 0,-1)).

Les matrices ((1-a+ac, as, 0), (-as, -1+a+ac, 0), (0,0,2a-1)), avec a un réel quelconque transforment u en v.

Le déterminant est (2a-1)((1-a+ac)(-1+a+ac) + a²s² ) = (2a-1)((a²c² - (1-a)² + a²s²) = (2a-1)² > 0 (rotation) si a différent de 1/2.

La question n'est plus alors que de trouver l'axe de rotation et l'angle.

Pour l'axe de rotation, c'est la solution de l'équation aux vecteurs propres pour la valeur propre 1.

Quant à l'angle, je ne sais pas s'il y a plus direct que de construire le changement de base une fois l'axe connu.

[polima]

Médiat : Je voulais dire par là pas de solution pour l'équation Lu=v qui est une système à trois variables et trois équations : mais elles devraient être redondantes pour qu'on ait y en fonction de x et de z. Mais il suffit qu'on prenne les deux dernières pour avoir tan^2(y/2)=-1 donc pas de solution au système.

Mais je vais explorer votre piste même si le fait de normer le vecteur combinaison linéaire risque de compliquer le calcul.

Amanuensis : le problème est qu'une combinaison linéaire de deux matrices de rotations n'est, sauf cas particuliers, pas une matrice de rotation. Par exemple, une condition nécessaire pour que votre matrice soit orthogonale serait d'avoir un déterminant égal à 1 donc a=1, ce qui nous avance pas beaucoup.

Mais votre idée était intéressante si on prenait une combinaison linéaire des axes et non pas des matrices : ainsi à partir de l'axe, on chercherait l'angle nécessaire pour envoyer u sur v. Malheureusement, je n'arrive pas à trouver ce qui ne va pas dans mon raisonnement.

[Amanuensis]

Amanuensis : le problème est qu'une combinaison linéaire de deux matrices de rotations n'est, sauf cas particuliers, pas une matrice de rotation. Par exemple, une condition nécessaire pour que votre matrice soit orthogonale serait d'avoir un déterminant égal à 1 donc a=1, ce qui nous avance pas beaucoup.

Oui.

Et en plus j'avais bien calculé le déterminant...

[azizovsky]

Salut, une rotation dans R^3 peut toujours se faire avec au plus deux symétries planes. Ainsi, une rotation peut se noter par l'application (multiplication) de deux matrices de symétrie .