Modules

[math123]

Bonjour,

voila je dois montrer ceci et je n'ai aucune idée comment démarrer...

Soit A un anneau commutatif, on fait l'hypothèse que tout A-module de type fini est libre, montrer alors que A est un corps.

Je pensais commencer comme ceci: Supposons que A n'est pas un corps donc je peux trouver un élément x non nul tel que x n'est pas inversible... mais comment exploiter ceci ?

Merci encore !
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[invite52487760]

Bonjour,

Soit un idéal strict de , il faut alors montrer que pour arriver finalement au fait que est un corps.
On a : , donc : est de type fini, donc par hypothèse libre.
Tu prends maintenant : , et tu montres qu'il y'a contradiction. d'où , et par conséquent : .

Cordialement.

[math123]

Merci de ta réponse mais je n'arrive pas à voir pourquoi A/I = <1> ? Merci encore !

[invite52487760]

Excuse moi pour le retard.
Si je ne m'abuse : : . Donc : .
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Si n'est pas un corps a priori, comment sais-tu que est inversible ?

[Seirios]

En fait, c'est tout simple : s'il existe un élément non inversible, alors est un idéal propre de (puisque ); dans le quotient , est un élément de torsion puisque , donc (qui est un -module) ne peut être libre.