décroissance exponentielle de température

[ikaruga]

Bonjour,

Mon poste est à mi-chemin entre physique et mathématiques. Je suis étudiant ingénieur en thermique et je souhaite résoudre le problème suivant :

Une chaudière en refroidissement dispose d'une masse MC supposée connue, d'un coefficient de perte UAparois vers une ambiance à température Tamb (Tamb et UAparois connus) et d'un coefficient de pertes par balayage Ubal (inconnu) vers l'extérieur (Text connue). La chaudière est à une température interne Tint.

L'équation de ce refroidissement est le suivant :

MC*dTint/dt = -[ UAparois*(Tint-Tamb) + UAbal*(Tint-Text)^(3/2) ]

D'autre part, des essais expérimentaux me permettent d'obtenir une loi sur la température interne de type Tint = Tint (t=0) * exp(-t/Tau),
Tint(t=0) et Tau sont donc connus.

A partir de tout cela, comment puis-je déduire UAbal ?

Merci de votre réponse,


Romain
-----

[gg0]

Bonjour.

Peut-on supposer que Tamb et Text sont des constantes ? Si oui, les solutions de l'équation différentielle ne sont pas de la forme Tint = Tint (t=0) * exp(-t/Tau), ce qui interdit de comparer, sauf si UAbal est nul (ou négligeable).

A toi de voir si la bonne méthode physique est de considérer UAbal comme négligeable (donc valeur 0) ou de changer de modèle pour traduire les essais expérimentaux.

Pour bien voir la situation, il te suffit de remplacer Tint par Tint (t=0) * exp(-t/Tau) cdans l'équation différentielle ...

Cordialement.

[ikaruga]

Bonjour,

Oui théoriquement durant les essais, Tamb et Text sont des constantes.
Le problème c'est que quand j'utilise un solveur (Modelica) pour résoudre l'équa diff, et en imposant une loi exponentielle sur Tint, alors UAbal n'est pas constant voire négatif. Il doit pourtant bien être constant (physiquement). Cela signifie qu'une exponentielle ne représente pas bien l'évolution de Tint.

Comment faire dans ce cas ?

J'ajouterai que UAbal ne peut pas vraiment être considéré comme négligeable, les deux phénomènes ont bien lieu (pertes par les parois et par balayage)

[ikaruga]

Je viens de penser à une astuce.

Supposons que MC n'est pas exactement connu.

La décroissance de Tint est donnée expérimentalement.

Tint doit tendre vers Tamb quand t tend vers l'infini.

Peut-on procéder par "tâtonnement" pour retrouver le bon trio de valeur UAbal, UAparois et MC ? MC va influencer la "vitesse" de décroissance et UAbal et UAparois plus ou moins la valeur finale. Il y aura peut-être plusieurs couples mais un seul aura des valeurs "raisonnables" physiquement.

Est-ce raisonnable ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Pourquoi ne pas chercher un modèle qui correspond à l'équation théorique ? Après avoir résolu l'équation différentielle ?

Pour l'instant, ce que tu fais me rappelle celui qui cherchait ses clef sous un réverbère (au moins il y a de la lumière) alors qu'il les avait perdues ailleurs.

Sinon, tout raisonnement physique adventice sera utile.

Cordialement.

[ikaruga]

Je ne crois pas avoir bien saisi le sens de la phrase :

"Pourquoi ne pas chercher un modèle qui correspond à l'équation théorique ? Après avoir résolu l'équation différentielle ?"


Oui je "sens" que la méthode actuelle est bancale.

Merci

[gg0]

Tu as un modèle physique précis : Les solutions de l'équation différentielle. Ce sont elles qu'il faut adapter aux données pour choisir les bons coefficients.

[Boumako]

Bonjour

Le coefficient d'échange n'est pas constant, mais tu peux le considérer comme tel sur une plage d'environ +5 à +50°C au dessus de t°amb.
La constante de temps est égale à masse * Cp global / UA, quelles sont les valeurs que tu connais ?

[ikaruga]

@ gg0

J'ai des données expérimentales, notamment la décroissance de la température interne durant le refroidissement. On peut assimiler (c'est un choix, ce n'est peut-être pas exact mais ça y ressemble) cette température réelle à une fonction exponentielle qui serait solution de l'équation différentielle bilan donnée au début. Les coefficients de la solution Tint=f(t) sont justement fonction des coefficients de l'équation bilan si je ne me trompe pas ?

La démarche que je décrivais dans mon poste #4 était donc d'adapter les coefficients du bilan pour adapter la solution Tint à la Tint mesurée. Est-ce que tu proposes ?

@Boumako

Oui tout à fait le UA n'est pas tout à fait constant puisqu'il dépend de certains phénomènes convecto-radiatif mais je choisis de le supposer constant.
Oui en effet, initialement, je pensais utiliser simplement Tau = MC/UA en "lisant" le Tau sur la courbe de Tint expérimentale et en connaissant le MC (par estimation de la masse de la chaudière) j'obtiendrai le UA "global". Or il me faut ensuite décomposer ce UA global en deux UA (paroi et balayage) qui n'interagissent pas avec la même température : le problème est que la masse interagit avec deux température différentes (Tamb et Text).

Je connais donc le MC (par estimation) et je peux connaître le UAparoi en le supposant égale au UAparoi que je trouve dans les essais en régime stationnaire en fonctionnement (dont je ne parle pas dans ce sujet). Maintenant, physiquement ceci reste une hypothèse forte.

Le modèle est en fait semi-empirique, ce sont des équations physiques mais paramétrées par des essais.

[gg0]

Ikaruga

"On peut assimiler (c'est un choix, ce n'est peut-être pas exact mais ça y ressemble) cette température réelle à une fonction exponentielle qui serait solution de l'équation différentielle bilan donnée au début."
Il n'y a pas de "fonction exponentielle qui serait solution de l'équation différentielle bilan donnée au début."
Après, on peut toujours rêver à des calculs ...

Mais j'ai déjà tout dit dans le message #2.

[ikaruga]

Ahhhh ! je crois percevoir ce que tu dis, du coup je ne pensais pas insister bêtement mais ça y ressemble vu de l'extérieur

effectivement non il n'y a pas de solution de cette forme exponentielle là à l'équation donnée si UAparoi et UAbal sont des constantes.

Du coup, de quelle forme peuvent-elles être ?

D'autant que lorsque le temps tend vers l'infini, Tint tend vers Tamb dans la réalité, ce n'est pas le cas dans l'équation.

Comment puis-je ajuster/changer le modèle ? Car en fait ce UAbal*(Tint-Text)^(3/2) est une représentation du tirage naturel balayant l'intérieur de la chaudière, dont le débit est proportionnel à la racine de Tint-Text et les pertes proportionnelles à ce débit et à la différence entre Tint-Text. Quant au UAparoi c'est ainsi qu'on le trouve utilisé dans la littérature.

Si vous avez des propositions, je suis preneur

Merci de votre patience

Romain

[gg0]

A vrai dire,

Ta modélisation me laisse un peu dubitatif. Si la chaudière a des échanges avec le milieu ambiant et aussi vers l'extérieur, à l'infini, les températures s'équilibrent toutes et Text=Tamb.

Ou alors, on est dans une phase transitoire où l'essentiel de l'équilibre est avec le milieu ambiant, et les échanges avec l'extérieur négligeables. Dans ce cas, cette équation différentielle ne sert à rien !

Mais c'est toi qui traites le sujet, moi je ne peux que regarder les outils mathématiques et leur cohérence.

Cordialement.

[ikaruga]

Je me suis déjà fait cette réflexion, si on se base sur ces équations, l'équilibre final est que Tamb atteigne Text. Cependant la chaudière aura redémarré bien avant pour maintenir Tamb à la consigne.

La constante de temps de refroidissement de la chaudière est bien inférieure à celle de l'ambiance. Donc Tint tendra vers Tamb qui est "constante" relativement à Tint.

Je commence cependant à me demander s'il n'est pas plus juste d'écrire UAbal*(Tamb-Tint)^(3/2) car finalement la chaudière est refroidie par cette Tamb avant tout. Que l'énergie soit balancée vers une ambiance à Text ou une autre température n'est pas important..

Bref, je vais peut-être me tourner vers le forum physique/thermique dans ce cas,

Merci

Romain

[Boumako]

A mon avis le vrai problème réside dans tes hypothèses, notamment le fait que tamb est constant. Par ailleurs le refroidissement d'une masse comme une chaudière est plus compliqué qu'une décroissance d'ordre 1 ; il y a des effets de conductions qui viennent s'ajouter, les masses internes ne se refroidissent pas toutes à la même vitesse etc.