Résolution d'équation matricielle

[Leonlio]

Bonjour,

je suis tombé sur un exo de maths qui est assez déroutant:

résoudre l'équation pour n entier supérieur à 0 : M^n = E₁₂

Avec M une matrice carrée d'ordre 2 et E₁₂ la matrice avec un 1 en haut à droite et des 0 partout.


Ma propostion :

J'ai tout d'abord calculer le déterminant de M, car det(M^n)=det(M)^n

d'où det(M)^n = det( E₁₂ ) = 0

d'où la matrice M n'est pas inversible donc elle peut avoir 0 comme valeur propre.

De plus pour n=1, évidemment on a M=E₁₂

Et pour n=/= 1 je pense qu'il n'y a pas de solution mais je ne sais pas comment le démontrer

Donc si vous avez une petite idée du pourquoi ou du comment n'hésitez pas
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[Médiat]

Bonjour,

A quoi est égal ?

[Leonlio]

Si M₁₂ = E₁₂ alors M₁₂^n = 0 (ou matrice nulle ) donc E₁₂ n'est pas solution de l'équation.

[Médiat]

Oops, j'ai confondu "en haut à gauche" et "en haut à droite", vous auriez écrit la matrice
,
cela aurait été plus clair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

Une possibilité est de remarquer que doit être une matrice nilpotente, et de se rappeler que l'indice de nilpotence est majoré par la dimension de l'espace.