Produit d'opérateurs hermitiens non negatifs

[Murmure-du-vent]

Bonjour,

Le produit de deux opérateurs hermitiens non négatifs l'est il lui aussi?
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[Lanceliogs]

Yo,

Non : Contre-exemple : Considère deux matrices 2-2 diagonales aux valeurs propres (-1,1) pour la première et (1,-1) pour la deuxième.
Les deux matrices sont symétriques à valeurs propres réelles, donc hermitiennes ni positives, ni négatives, mais le produit, ça donne une matrice hermitienne définie négative...

Bonne soirée.

[Murmure-du-vent]

Merci de répondre.

Ce n'est pas mon hypothese.
Je pars de deux matrices hermitienes avec des valeurs propres >= 0 et je les multiplie.
le resulutat est il egalement hermitien à valeurs propres >= 0?

[Seirios]

Déjà, il me semble que le produit n'a aucune raison d'être hermitien : .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lanceliogs]

Ce n'est pas faux !

[Lanceliogs]

Mais ton contre exemple n'et pas valable car tes matrices ne sont pas semi positives.

[Murmure-du-vent]

J'avais cru que c'était un contre exemple mais non.
Quand les matrices sont diagonales c'est évident. Mais je ne sais pas pour le cas general.

[Seirios]

Ma remarque visait surtout à montrer que la question n'était peut-être pas très intéressante. Sinon, on peut modifier mon exemple en .

[Murmure-du-vent]

C'est vrai n'est pas hermitien.

En fait mas question etait mal posée, je ne m'intéresse qu'au signe de la trace du résultat.Est il non négatif.
Je vous explique l'origine de ma question:
On peut définir le produit intérieur de Hilbert Schmidt de deux matrices A et B par
<<A,B>> = Tr (A B*)
je me demandais si avec A et B hermitiens semipositifs on a oui ou non <<A,B>> non negatif
Donc a partir d'une "base" orthonormée d'operateurs de repérer tout operateur hermitien semipositif.

[Seirios]

Dans l'exemple que j'ai donné, la trace du produit est justement -1/4; cela ne répond-il pas à ta question ?

[Murmure-du-vent]

dans ton contre exemple on a le produit d'opérateurs non hermitiens.

[Lanceliogs]

Tu peux peut-être t'intéresser au fait que modulo un changement de base bien choisi, on peut toujours considérer qu'une des deux matrices du produit est diagonale. Je te laisse voir la suite !

[Seirios]

dans ton contre exemple on a le produit d'opérateurs non hermitiens.

Quelle est ta définition de matrice hermitienne ? Pour moi, c'est simplement une matrice égale à sa transconjuguée.

[Murmure-du-vent]

Ma remarque visait surtout à montrer que la question n'était peut-être pas très intéressante. Sinon, on peut modifier mon exemple en .

aucune de ces deux matrice n'est égale à sa transconjuguée!

[Seirios]

Effectivement

[Seirios]

Une manière possible de chercher un contre-exemple (j'ai un petit peu regarder, mais sans rien trouver) : on prend une matrice symétrique définie positive et une matrice orthogonale ; on peut regarder et , et voir si est positif ou non.

[Murmure-du-vent]

Tu peux peut-être t'intéresser au fait que modulo un changement de base bien choisi, on peut toujours considérer qu'une des deux matrices du produit est diagonale. Je te laisse voir la suite !

Je pense que j'ai trouvé
Si A est diagonalisé ses valeurs propres sur sa diagonale sont >= 0.
Pour B il faut regarder les elements sur sa diagonale. ils sont égaux à <v |B v> (base diagonalisant A)
Par definition B est hermitien et tel que pour tout w <w |B w> est >= 0
donc Tr(AB*) = Tr(AB) >= 0.
Merci pour votre aide.

[acx01b]

on sait reconnaître une matrice semi défini positive :



(c'est le théorème spectrale pour les matrices ?)

donc si n'est pas semi défini positive,


ainsi si semi défini positives, à moins qu'elles soient diagonales dans la même base (), n'est pas symétrique donc


mais cela ne nous renseigne pas sur le signe de ça dépend des matrices
(sauf bien sûr si est symétrique donc sont diagonales dans la même base et donc est semi défini positive)

[acx01b]

Ce n'est pas tout à fait ça.

Puisque je parle de et vecteurs et matrices complexes (mais le raisonnement s'applique également si est une matrice réelle) on ne parle pas uniquement de ou , on a également le cas



où est le conjugué complexe, le conjugué de la transposée

si donc si est symétrique au sens complexe,
alors et donc

à l'inverse si alors il existe tel que
et donc

ce qui prouve que si alors il est impossible que


Et donc effectivement caractérise les matrices complexes semi défini positives.