Base orthonormée dénombrable des suites

[acx01b]

bonjour,

soit l'ensemble des suites complexes de norme finie:

C'est un espace vectoriel.

Est-ce que tous les bases orthonormées possibles de sont dénombrables ?


En effet la transformée de Fourier discrète (réciproque des séries de Fourier) donne une base dénombrable de l'espace de Hilbert des fonctions 1-périodiques intégrables sur une période, mais réciproquement elle donne une base qui n'est pas orthonormée de l'ensemble des suites de normes finie. En effet les vecteurs de base ont une norme infinie :

où a une norme infinie. Cette base des où n'est pas dénombrable.



Maintenant je sais que la transformée de Haar (la plus simple des ondelettes) permet d'avoir une base orthonormée dénombrable pour :

on prend la suite ,
on construit deux nouvelles suites et



si on connait et on peut en déduire

puis récursivement, on remplace par et on refait le même raisonnement.
Ainsi si on écrit
où est l'opérateur linéaire filtre passe haut suivi d'un sous-échantillonnage de facteur 2)
où est l'opérateur linéaire filtre passe bas suivi d'un sous-échantillonnage de facteur 2)

on a la transformée de Haar :


et ce qui donne une base orthogonale de l'ensemble des suites, qu'on peut normaliser en ajoutant un facteur aux opérateurs

Merci !
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[Tryss]

Tu aurai pu pensé à la plus simple des bases de Hilbert : la suite nulle partout sauf au rang n ou elle vaut 1.

Maintenant pour ta question, j'ai l'impression que si une famille de suite n'est pas dénombrable, alors elle n'est pas orthonormale, mais c'est juste une intuition

[Médiat]

bonjour

Est-ce que tous les bases orthonormées possibles de sont dénombrables ?

Toutes les bases, orthonormées ou non, d'un espace vectoriel ont le même cardinal.

[acx01b]

bonjour
Toutes les bases, orthonormées ou non, d'un espace vectoriel ont le même cardinal.

Ok, merci, c'est un très bon argument et très clair. Mais comment on l'applique à la base donnée par les séries de Fourier / transformée de Fourier discrète ?
Dans le cas de la transformée de Fourier on fait l'intégrale (et non la somme) de la projection sur les vecteurs de base, qui n'ont pas de norme , mais ça reste une base ? Enfin justement, comment on définit que c'est différent d'une base orthonormée ?

Tu aurai pu pensé à la plus simple des bases de Hilbert : la suite nulle partout sauf au rang n ou elle vaut 1.

Maintenant pour ta question, j'ai l'impression que si une famille de suite n'est pas dénombrable, alors elle n'est pas orthonormale, mais c'est juste une intuition

Oui bien sûr, la transformée de Haar n'est pas différente qualitativement de la base canonique, mais bon ça reste un exemple de base orthonormée remarquable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

Bonjour

Je sens que ca n'est pas vraiment la reponse que tu souhaites, mais les vecteurs de bases appartiennent a l'espace considere
donc les exp(2 pi n t) ne sont pas des bases de E
Ce que la TF montre, c'est que l'espace des fonction periodique, de norme L2 finie, possede une base hibertienne
++