Qu'est-ce qu'une algèbre?

[Le petit belge]

Bonsoir,

J'ai plusieurs définitions contradictoires, ou du moins qui ne disent pas la même chose selon le livre dans lequel je me trouve.

1) Une K-algèbre est définie le plus communément (d'après ce que je peux lire) comme étant une K-vectoriel muni d'une opération interne supplémentaire qui soit distributive et homogène.

2) J'ai également une définition plus fournie qui dit qu'elle doit etre associative, et doit admettre un neutre...

Laquelle de ces 2 est la plus correcte? pourquoi ces 2 définitions (cela a-t-il avoir avec les algèbres sur un anneau?)

Une algèbre de Lie est-elle un cas particulier de l'une de ces 2 algèbres?

Merci d'avance pour votre réponse
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[Tryss]

Ta seconde définition est étrange, en général c'est bien la première qui est employée (Par exemple, les algèbres de Lie ne sont généralement ni commutatives ni unitaires)

[Médiat]

Pour aller dans le sens de Tryss, les Octonions sont bien considérés comme une algèbre alors que la multiplication n'y est pas associative.

[acx01b]

Quels sont les quelques exemples les plus pertinents d'algèbres sur un corps (commutatif ou non) ?

Si je ne dis pas de bêtises,

• Comme algèbre sur un corps commutatif continue :
  il y a la -algèbre où l'espace vectoriel est et où correspond à la multiplication complexe.
  
  
• Comme algèbre sur un corps fini (commutatif) :
  est une algèbre sur le corps où l'espace vectoriel est et correspond à la multiplication dans
  
  
• Comme algèbre sur un corps non commutatif :
  le corps des quaternions est une -algèbre où l'E.V. est et correspond à la multiplication (non commutative) des quaternions

Mais ça ne sont que des exemples d'extensions de corps finalement, non ? Quels autres exemples intéressants pourrait-on donner ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02232301]

Bonjour,
Deja F_4 n'est pas isomorphe meme en tant que groupe additif a Z/4Z.
Z/4Z n'a pas de structure de Z/2Z algèbre (avec les conditions usuelles, i.e que 1 s'envoie sur 1)
Ensuite, la definition d'algèbre varie un peu en fonction des sujets. Demande a un geometre et il te dira qu'une A algèbre c'est un anneau B muni d'un morphisme de A dans B (les anneaux en question etant comme il se doit commutatif unitaires).
Si les anneaux ne sont pas commutatifs il faudrait en plus rajouter le fait que l'image de A dans B soit centrale.
Enfin, certaines personnes se permettent meme de parler d'algèbres non associatives (les algèbres de Lie sont non associatives par exemple).

Enfin, a mon sens les exemples les plus fondamenteaux d'algèbres sont les quotients de A[X1,...,X_n] par un ideal de celui ci. On obtient des objets géométriques sur A est un corps, ou plus arithmétiques si A est par exemple Z ou un anneau d'entier (qui est aussi un Z-algèbre).

[acx01b]

oui pardon j'ai lu 5 fois comment on construit le corps et plus généralment , à chaque fois je trouve ça classe et à chaque fois j'oublie, parce que c'est loin d'être trivial, beaucoup moins que en tout cas.

[acx01b]

• Comme algèbre sur un corps fini (commutatif) :
  est une algèbre sur le corps où l'espace vectoriel est et correspond à la multiplication dans
  
  on peut détailler :
  
  l'addition de est isomorphe à l'addition dans , et la multiplication de l'algèbre se définit comme suit, sachant que les multiplications sont celles de :
  
  sont des nombres de
  un couple est un élément de
  
  
  puisque
  
  
  
  est la racine du polynôme irréductible sur
  
  est également racine puisque
  
  
  
  et implique
  donc
  

et ça rentre dans ce que tu appelles
" quotient de A[X1,...,X_n] par un ideal de celui ci"

[acx01b]

en définissant le corps comme une algèbre, on a défini l'addition comme étant issue d'un E.V. de dimension 2 sur , ce qui donne une définition "triviale" de l'addition, par contre la multiplication de est non triviale et on doit utiliser la multiplication (triviale) de ainsi qu'une multiplication externe obtenue à partir d'un polynôme irréductible de :



en faisant la démarche inverse on peut définir comme ça :
c'est un corps (à 4 éléments) dont le groupe multiplicatif (à 3 éléments) est isomorphe au groupe additif :
le groupe multiplicatif est donc "trivial",
et c'est le groupe additif qui est moins trivial,

pour faire le groupe additif, à ces 3 éléments on ajoute le 0, et on définit :






ce qui donne toutes les tables d'addition et de multiplication

j'aime bien cette façon de définir parce qu'on a évité l'histoire du polynôme irréductible : cette seconde définition est plus triviale que l'autre, non ?