Modélisation polynomiale

[virginie23]

Bonjour,

Je dois actuellement créer un programme informatique (en perl) me permettant de modéliser automatiquement des courbes. Ce programme doit me permettre de prédire des valeurs à venir en utilisant le modèle créé.

J'ai donc tout d'abord pensé à une interpolation polynomiale. Je l'ai effectué (à l'aide la méthode de Newton) mais je n'ai pas des résultats très corrects. Savez-vous comment les améliorer?

Sinon, voyez vous une autre méthode pour mon programme?
Je me suis déjà documenté sur les splines et sur les modèles arima mais cela ne me semble pas du tout évident à coder.

Merci d'avance pour votre aide!

Virginie
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[egaillard37]

Ton truc n'a simplement pas de reponse.
On ne peut pas predire la fin d'une courbe, on ne peut que la choisir.
Cependant , si l'interpolation donne un polynome qui passe par tes points , c'est tout.
Elle ne correspond a rien de naturel, simplement car tu calcules un polynomes qui passe par tes points, il n'y a qu'une solution (definition).
La nature se fiche royal de ce polynome.
Et sa tete est pas jolie du tout.

Maintenant tu cause splin
Tu as raison , les splin permettent une interpolation sous contrainte du style , j'interpole en un point avec des courbes differentes sur chaque portion (!!!), des polynomes de degre 3 ou 4 (courbes de bezier). On j'ajoute la contrainte que la derivee a gauche d'un point sera egale a celle a droite (tu veux une fonction de classe C1), on y ajoute que cette derivee sera une egale a f(n+1)-f(n-1) / x(n+1)-x(n-1) en gros
On se fixe une contrainte au depart enterme de derivee du style fn(1)-fn(0)/x(1)-x(0) , une a la fin
T'obtient un brave systeme lineaire , tu resouds , tu as tes polynomes.
Tu peux aussi te rajouter un point derriere pour ton extrapolation, mais ce sera un choix.

Note que les splin sont des courbes x(t) y(t) , toi tu te restreint a y=f(x) , soit x(t) croissante

Disons , c'est assez complique quand meme.
1) Tu dois comprendre les splines
2) programmer ce truc

J'en cause car je l'ai fait pour la grande distribution, j'ai peut etre toujours les sources.
Mais je doute que tu puisses t'en servir si tu comprends pas ce que j'ai ecrit ci dessus

[gg0]

Bonjour.

S'il s'agit de modéliser des séries temporelles, des méthodes simples comme tendance+variations saisonnières peuvent suffire (en particulier si on a déjà une bonne idée d'une cause de saisonnalité). Sinon, il faudra te tourner vers des modèles statistiques plus complexes. Mais en aucun cas l'approximation polynomiale ne sera utile, puisqu'elle ne tient compte que des valeurs individuelles, pas de l'évolution globale. Même risque avec des splines (avec un e, et évidemment un s pour le pluriel).

Cordialement.

[acx01b]

l'interpolation par polynôme trigonométrique (au lieu de polynôme simple) donne de bons résultats au sens où elle minimise l'intégrale du carré de la dérivée.
donc on a des points, et on fait passer une courbe "qui varie le moins possible" et qui passe par ces points, c'est pas délirant, et pour certains problèmes probabilistes c'est la solution optimale (minimiser la probabilité de se tromper)

et pour faire l'interpolation on a souvent besoin de résoudre un système d'équations linéaires :
donc le coeur de ton programme c'est un code d'inversion de matrice (résolution de systèmes linéaires)

[A voir en vidéo sur Futura]

[egaillard37]

J'aimerais completer un peu.
Les splines ne sont pas d'un niveau theorique compliqué.

Un terminal S a l'arsenal (sauf la resolution mecanique des gros systemes lineaires)
La methode de gauss est efficace car par contruction on se fabrique des matrices gentiment inversibles.
Elle ne sont pas symetriques mais creuses (pleines de zero)

C'est une application TRES astucieuse de donnees intuitives.
Tous les logiciels de dessin savent le faire.

Bezier (qui y est pour beaucoup) etait tres pragmatique et a donné une reponse tres elegante à la modelisation harmonieuse des formes ainsi que la possibilité de les modifier en tirant sur des "Ficelles".
Ca marche en dimension n, en particulier pour faire des surfaces.
Tous les objet modernes non "carres" ou "ronds" utilisent son travail (plastiques , toles...)

Il avait un probleme, des ordinateurs (c'etait le debut) et il a vu la solution.
C'etait tout sauf une buse.

[acx01b]

La methode de gauss est efficace car par contruction on se fabrique des matrices gentiment inversibles.
Elle ne sont pas symetriques mais creuses (pleines de zero)

c'est un peu hors sujet mais suite à ta remarque j'ai ajouté ce paragraphe : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...matrice_creuse
dans l'article wikipedia.

[jiherve]

Bonjour,
encore et toujours ces algorithmes utilisent une méthode de résolution par moindres carrés voir Cholesky.
JR

[egaillard37]

Une methode qui minimise la derivee seconde ca me parait pas mal.
Je connaissais pas.

Virginie est en dessous de la realité , l'interpolation polynomiale c'est catastrophique car sa contrainte c'est d'etre un polynome.
Suffit d'essayer pour en etre convaincu, vou verrez apparaitre des courbes biscornues.
Ca n'a rien a voir avec la vie.
Pis l'interpolation polynomiale t'envoie vers l'infini sur le futur par construction.

Maintenant, les interpretation cycliques sur de petits echantillons avec des variation saisonnieres...
Bonne chance, faudrait deja avoir des echantillons suffisants et connaitre le passé.
Etre un champion des stat (c'est pas rien).
Bref en general , on se debrouille, mais on extrapole pas sur 5 ans.

Le probleme , c'est que souvent on propose a des gens de donner des solutions a des problemes qui n'en ont pas.

Dans ma boite , j'ai vu un mec venir avec 15 echantillons de mesures sur une cote de piece et prouver que cette repartition etait gaussaienne. Il voulait faire une courbe avec le khy2. J'ai programme le bouzin (pas passionnant le khy2). Fallait trouver une gaussienne en divisant son panel en ce qu'on veut. Je lui ai dit , avec ton echantillon si je bouge les intervalles a gauche et a droite , 2 ou 3 pieces changent de place. T'as plus de gaussienne ou des fois j'en cree une.
Alors j'ai fait un truc qui optimisait le resultat, trouver le nombre d'intervalles qui optimisait le resultat pour dire que c'etait bon (plus de 5)

Le mec s'est barré croyant que j'etais neuneu et a publié sa bouze comme regle (m'enfin si ca plait aux client ou sa flatte son ego)
Sauf que ds le khy 2 faut une petite centaine de prelevements pour avoir un resultat.

Et on va pas payer pour des mesures de 80 pieces toutes les equipes ce qui coute plus d'1h d'operateur amelioré si on en sort 1000 avec un quart d'operateur (2h). D'autant plus que les 80 sont conservées pour controle client un bon moment et finissent souvent a la benne.

[acx01b]

toujours sur mon hors sujet : je me suis planté, la complexité ne change pas donc j'ai annulé ma modif..

[egaillard37]

Les moindre carré c'est pas une méthode d'interpolation.
A ma connaissance , c'est trouver une tendance.
Touver une fonction d'une certaine forme , droite polynome (autre ?) qui minimise la distance avec un nuage de point (des fois selon les 2 axes).
Mais bon , pourquoi pas , leur but c'est de faire des tendances, mais ca interpolle pas a ma connaissance.
Faut quand meme que Virginie lise ta reponse car c'est peut etre la meilleur pour le futur.

... Autre chose , le coup des matrices creuse parait peut etre etrange. Mais une matrice issue d'un calcul definit souvent , l'influence qu'un point i a avec un point j.
Dans bien des modeles , ce point i ne subit que l'influence de quelques autres points a cote de lui (les voisins=derivee , les voisins des voisins=derivee seconde...)
Souvent ca va representer quelques pourcent des points. Alors notre matrice est pleine de zeros.
Les champions de l'inversion des tres grosses matrices aiment bien (style 1 million par 1 million, style un cube de 100 points de coté), mais c'est pas le propos.

Je me tais.

[virginie23]

Merci à tous pour vos réponses que j'ai lu attentivement.

Pour être plus précise, on utilise actuellement un logiciel de statistiques (SPSS) pour modéliser les données; La plupart des modèles prédis sont assez corrects et permettent de prédire des valeurs dans le futurs qui sont assez proche de la réalité.
Les modèles sont par exemple de typer ARIMA.

Le but est de retrouver ces modèles sans utiliser SPSS.

J'ai étudier le modèle ARIMA pour savoir de quoi il s'agit, mais ça ne me parait pas du tout évident à coder. Qu'en pensez-vous?

[jiherve]

Bonjour,
Si la méthode des moindres carrés permet une modélisation polynomiale qui permet l’interpolation mais certainement pas l'extrapolation.
Je l'ai utilisé pendant presque 30 ans avec bonheur.
JR

[gg0]

Bonjour Virginie.

Si la méthode ARIMA te donne des prédictions utiles, c'est elle qu'il faut programmer (donc étude de la méthode dans un ouvrage de statistiques correct, et éventuellement étude du calcul matriciel et des méthodes de calcul approché). L'usage d'une autre méthode demanderait non seulement le codage, mais surtout la validation de la méthode.

Cordialement.

[egaillard37]

A Jiherve.
Apres tout pourquoi pas , en general les gens utilisent les moindre carres avec une droite.
Mais si tu utilises sur ton nuage de n points un polynome de degre n-1 , tu vas obtenir une polynome qui passe par tous tes points.
Pourquoi ce polynome seriat il different de celui issu de l'interpolation "standard" vu qu'a priori il n'y en a qu'un?
Peut etre ne parlons nous pas de la même chose.
Mais bon , j'ai assez baratiné sur ce sujet.

[jiherve]

Bonsoir,
non le polynome ne passe pas par tous les points , il minimise l'erreur quadratique.
C'est tout de même la méthode utilisée pur toutes les opérations de morphing qui recouvrent entre autre le traitement d'image satellitaires et différentes compensation de distorsion optique.
JR