Retrouver les coordonnées 3D d'un point projeté sur un plan?

[invite0f450383]

Pour un exercice de programmation, je dois résoudre le problème suivant:

"dans l'espace (o,xyz), je prends un point A de coordonnées cartésiennes (x,y,0).

Je lui applique une rotation d'axe (O,x) d'angle Alpha. J'obtiens le point A1 (x1,Y1,Z1).
J'applique ensuite à A1 une rotation d'axe (O,Y), d'angle Béta. J'obtiens le point A2 (x2,Y2,z2).
J'applique enfin à A2 une rotation d'axe (O,Z), d'angle Gamma. J'obtiens le point A' (x',y',z')

Je projète ce point A' sur un plan, de sorte que j'obtienne le point Ap, de coordonnées xp et yp (zp ne m'intéresse pas) suivant le calcul suivant:

xp=x' * r/(z'+r)
yp=y' * r/(z'+r)

PROBLEME: Connaissant xp, yp, Alpha, beta, gamma et r, déterminer les valeurs de x et y du point A.

Solution du type x=f(xp,yp,alpha,beta,gamma,r)

AIDEZ MOI S'IL VOUS PLAIT!!
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[invite0f450383]

En fait, j'ai déjà effectué des opérations diverses:

pour A1: facile
x1=x
y1=y*cos(alpha)
z1=y*sin(alpha)

pour A2, ca se complique::!!
Je n'arrive pas à déterminer l'angle entre l'axe yZ et OA2

Merci pour vos conseils!!

[invite35452583]

Un conseil : passer par les matrices de changement de base.
(i,j,k) base ortonormé directe du plan d'origine.
(i,j',k') image de la première par la rotation d'axe ox et d'angle (attention k' va vers i dans une rotation positive d'axe oY)
(i",j',k") image de la seconde par la rotation d'axe oY et d'angle
(i"',j"',k") image de la troisième par la rotation d'axe oZ et d'angle
Ces matrices ont toutes une forme simple et sont triviales à inverser.
M sera leur produit. est le produit des inverses dans l'autre sens.
M permet d'avoir les coordonnées (x',y',z') dans la base (i,j,k) d'un point de coordonnées (x,y,z) dans la même base ayant subie les trois rotations.
Au niveau pratique on calcule les coordonnées des images de i et de j (une matrice "élémentaire" à la fois ça se fait bien) , le point A' est dans le plan définies par ces images. Le déterminant formé par les coordonnées de celles-ci et de (x',y',z') permet d'obtenir une relation linéaire entre x',y' et z'.
D'autre part on peut exprimer x',y' et z' en fonction de . Ce qui permet d'obtenir x',y' et z' en fonction de .
Le calcul de donne (x,y,0).

[invite0f450383]

Merci,

je ne suis pas familier des matrices de changement de bases. J'ai essayé de résoudre ce problème en utilisant des projections sur les différents répères successifs en exprimant chaque coordonnées de chaque point en fonction de x et y. Je n'arrive pas à obtenir de système linéaire simple.

Je suis prêt à utiliser votre méthode. Pouvez vous me donner la matrice de changement de base et le raisonnement pour la première rotation? ensuite, je réitérerai pour les 2 autres rotations. Enfin, j'inverserai la matrice.

MErci pour votre aide!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0f450383]

MErci, j'ai bien avancé en utilisant les matrices de changement de base (en cherchant, j'ai trouvé un cours).

j'arrive à trouver (x', y', z')=M1 * M2 * M3 * (x,y,0)

J'arrive à inverser directement.

J'utilise les deux équations yp et xp, ca me fait un systeme à deux eq deux inconnues hyper compliqué mais bon... Y'a t il une maniere moins harrassante de conclure (sans passer par ce systeme)?

[invite35452583]

Y'a t il une maniere moins harrassante de conclure (sans passer par ce systeme)?

Peut-être mais je ne vois pas (ou alors pire).
De toute façon, les fonctions x=f'(xp,yp, paramètres des transformations) et y=g(...) seront les mêmes et de manière générale les produits et sommes des fonctions trigo issues de trois rotations ne se simplifient pas.