Anneaux

invite52487760 · 28/07/2014, 23h01

Bonsoir à tous,

Pourriez vous svp m'expliquer pourquoi, dans la catégorie des anneaux, l'objet $\text{[math]}$ est initial et l'objet $\text{[math]}$ est final ?
Est ce que $\text{[math]}$ est le seul objet final de cette catégorie, ou bien il en existe d'autres, par exemple $\text{[math]}$ ?
Connaissez vous un objet non initial dans cette catégorie ?

Merci d'avance.

invite52487760 · 29/07/2014, 01h18

$\text{[math]}$ est un objet initial dans la catégorie des anneaux parce que $\text{[math]}$ , si on suppose qu'il existe deux morphismes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , c'est à dire : $\text{[math]}$ , on établit ainsi l'unicité. Pour l'existence, $\text{[math]}$ est entièrement déterminé par la donnée de : $\text{[math]}$ , et puisqu'il s'agit d'un morphisme d'anneau alors $\text{[math]}$ , et donc $\text{[math]}$ , non ? d'où l'existence. C'est comme ça qu'on raisonne ?

**Médiat** · 29/07/2014, 05h19

Bonjour,

Envoyé par chentouf

$\text{[math]}$

Comment savez-vous que $\text{[math]}$ existe dans l'anneau $\text{[math]}$ ? Par contre on sait que $\text{[math]}$ existe, il suffit donc de s'arrêter là dans la démonstration.

N'importe quel singleton peut être muni des opérations qui le rendent isomorphe à $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les opérations usuelles, donc est un objet final, avec ces opérations ; mais $\text{[math]}$ , sans préciser les opérations ne veut pas dire grand-chose (on peut faire l'effort de comprendre ce que vous voulez dire avec $\text{[math]}$ , pas avec $\text{[math]}$ ).

Bien sûr je pourrais faire l'effort de comprendre qu'étant dans la catégorie des anneaux, $\text{[math]}$ est muni de deux opérations internes, mais dans ce cas il est évident que l'on peut faire la même chose avec n'importe quel singleton (par exemple $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ) , et tout aussi évident que le résultat est un anneau isomorphe à $\text{[math]}$

invite52487760 · 29/07/2014, 11h25

Merci.

Peux tu me donner un exemple d'objets non initials et non finals dans la catégorie des anneaux ?
Pourquoi tout représentant d'un foncteur représentable est un objet initial ?
Est ce qu'il peut exister plusieurs représentants d'un foncteur représentable ?
Merci d'avance.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite52487760 · 29/07/2014, 11h34

Par exemple $\text{[math]}$ est un représentant du foncteur $\text{[math]}$ , pourquoi c'est un objet initial de la catégorie des anneaux ?
Merci d'avance.

**Médiat** · 29/07/2014, 11h49

Envoyé par chentouf

Peux tu me donner un exemple d'objets non initials et non finals dans la catégorie des anneaux ?

Par exemple : $\text{[math]}$

invite52487760 · 31/07/2014, 00h25

$\text{[math]}$ est initial, parce que par exemple $\text{[math]}$ , tel qu'il existe plus d'un morphisme ( $\text{[math]}$ morphismes ) de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , non ?
J'ai dit ça au pif, parce que, je remarque que, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et donc, je dis que il existe trois immersions possibles : une telle que $\text{[math]}$ est morphisme de sorte que $\text{[math]}$ , et une autre telle que $\text{[math]}$ est un morphisme de sorte que $\text{[math]}$ , et une dernière $\text{[math]}$ : un morphisme de sorte que $\text{[math]}$ .
Est ce que c'est correct ?
Merci d'avance.

invite52487760 · 31/07/2014, 00h28

Supposons qu'il existe $\text{[math]}$ un objet initial dans la catégorie des corps, pourquoi il existe toujours un corps $\text{[math]}$ tels qu'il existe au moins deux morphismes : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . ? ).

Supposons qu'il existe $\text{[math]}$ un objet final de la catégorie des corps, pourquoi il existe toujours $\text{[math]}$ un corps tels qu'il n'existe aucun morphisme : $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

**acx01b** · 31/07/2014, 01h22

Chentouf, désolé d'intervenir mais je trouve tes problèmes intéressants.

J'interviens parce que je n'ai pas trop compris vos raisonnements pour montrer que $\text{[math]}$ est "initial".

Pour moi :

on a un anneau $\text{[math]}$ et on prend deux morphismes d'anneau de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

et puisque $\text{[math]}$ (toujours le cas pour un morphisme d'anneau) alors $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ est bien initial (enfin il faut d'abord prouver l'existence d'un morphisme $\text{[math]}$ mais ça je suis d'accord avec votre preuve).

Et sinon Chentouf je ne vois pas trop de quoi tu parles avec l'anneau $\text{[math]}$ , ce n'est pas plutôt $\text{[math]}$ ?

invite52487760 · 31/07/2014, 02h22

Oui, c'est ça, c'est une erreur de ma part.

Sais tu répondre à ma dernière question ?
Merci d'avance.

**Médiat** · 31/07/2014, 05h59

Envoyé par chentouf

$\text{[math]}$ est initial, parce que par exemple $\text{[math]}$ , tel qu'il existe plus d'un morphisme ( $\text{[math]}$ morphismes ) de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , non ?
J'ai dit ça au pif, parce que, je remarque que, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et donc, je dis que il existe trois immersions possibles : une telle que $\text{[math]}$ est morphisme de sorte que $\text{[math]}$ , et une autre telle que $\text{[math]}$ est un morphisme de sorte que $\text{[math]}$ , et une dernière $\text{[math]}$ : un morphisme de sorte que $\text{[math]}$ .
Est ce que c'est correct ?
Merci d'avance.

Je ne vois pas comment on pourrait avoir $\text{[math]}$ le cardinal de ces ensembles étant différents ; essayez d'expliciter vos morphismes.

invite52487760 · 31/07/2014, 12h54

Je dis n'importe quoi. je suis désolé.
Dans $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ quelque soit le morphisme de corps $\text{[math]}$

**Médiat** · 31/07/2014, 13h04

Et vous pouvez expliciter les morphismes ?

Pour f(0) il n'y a pas le choix, mais pour f(1) ?

invite52487760 · 31/07/2014, 13h24

Si $\text{[math]}$ , ça veut dire que $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ - espace vectoriel de caractéristique $\text{[math]}$ . Peux -t-on noter : $\text{[math]}$ ? si c'est le cas $\text{[math]}$ .

**minushabens** · 01/08/2014, 03h24

Envoyé par chentouf

(...) quelque soit le morphisme de corps $\text{[math]}$

d'autant qu'il n'y en a pas beaucoup...

**taladris** · 01/08/2014, 11h48

Envoyé par chentouf

Peux -t-on noter : $\text{[math]}$ ?

Sauf erreur de ma part,

en tant qu'anneau, c'est faux: $\text{[math]}$ n'est pas un anneau integre, alors que $\text{[math]}$ , etant un corps, est integre.
en tant qu'espaces vectoriels c'est vrai: pour tout nombre premier $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ -espace de dimension $\text{[math]}$ . Mais cela n'est pas interessant pour toi, puisque tu travailles dans la categorie des anneaux.

**Mocassins** · 03/08/2014, 14h57

Si $\text{[math]}$ , ça veut dire que $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ - espace vectoriel de caractéristique $\text{[math]}$ . Peux -t-on noter : $\text{[math]}$ ? si c'est le cas $\text{[math]}$ .

-Qu'est-ce que la caractéristique d'un espace vectoriel?

- $\text{[math]}$ n'est pas isomorphe à $\text{[math]}$ (ils ne sont pas de même caractéristique et ne sont pas isomorphes en tant que groupes, tous les $\text{[math]}$ étant monogènes et les $\text{[math]}$ ne l'étant jamais) et même si c'était le cas $\text{[math]}$ serait un abus de langage.

invite52487760 · 03/08/2014, 21h41

Écoutez, je ne suis pas fort en maths, alors doucement.
Je vous ai donné une petite idée sur mon niveau, j'attends que vous me donniez quelques éléments de réponses, car seul, je n'y arriverais pas.
Cordialement.

**Mocassins** · 03/08/2014, 22h51

Je reformule mes remarques alors:

-je ne sais pas ce qu'est la caractéristique d'un espace vectoriel et je ne sais pas si tu confonds espace-vectoriel et anneau, caractéristique et dimension ou si c'est autre chose.
- $\text{[math]}$ n'est pas un corps: dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne sont pas inversibles, or ils sont non nuls. (on peut montrer qu'un $\text{[math]}$ forme un corps si et seulement si [tex)n[/tex] est un nombre premier.)
-en tant qu'anneau $\text{[math]}$ n'est pas isomorphe à $\text{[math]}$ car par exemple, $\text{[math]}$ admet un élément d'ordre $\text{[math]}$ tandis que tous les éléments de $\text{[math]}$ sont d'ordre $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ . Cela contredit que ces groupes additifs soient isomorphes et donc en particulier que les anneaux soient isomorphes.
-si $\text{[math]}$ est un morphisme d'anneaux, alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . (la seconde égalité fait partie de la définition d'un morphisme d'anneaux, la première s'en déduit assez directement)
-En tant qu'ensemble, $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ tandis que l'image de $\text{[math]}$ par un morphisme d'anneaux $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ .
(On a seulement $\text{[math]}$ )

invite52487760 · 04/08/2014, 01h14

Il y'a des choses que je ne comprends pas dans ton message :
$\text{[math]}$ pour moi est un corps, car son cardinale s'écrit $\text{[math]}$ , parce qu'il contient $\text{[math]}$ éléments, $\text{[math]}$ plus $\text{[math]}$ éléments appartenant à $\text{[math]}$ , donc, le cardinal est une puissance d'un nombre premier.
Tout ce que je sais sur les éléments de $\text{[math]}$ , est que c'est le corps des racines de $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ le sous corps premier de $\text{[math]}$ à deux éléments. Donc, c'est la notation multiplicative qui nous intéresse et non la notation additive.
Il se peut que tu as raison, mais moi je ne sais pas. si je connaissais la réponse, je ne serai plus là.
Dire que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne sont pas inversibles dans $\text{[math]}$ parce que $\text{[math]}$ peut être vrai si $\text{[math]}$ , or je ne pense pas que ce soit vrai, car $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ - espace vectoriel à cause de la caractéristique de $\text{[math]}$ qui est $\text{[math]}$ et non $\text{[math]}$ ..
J'ai l'impression que là, tu te bases seulement sur des notions tirés de la théorie des groupes, mais je pense que cela se base principalement sur la théorie des corps finis. Enfin, je ne sais pas, puisque je n'arrive pas à décrire les éléments de $\text{[math]}$ en fonction des éléments de $\text{[math]}$ . Je n'ai que quelques connaissances rudimentaires en théorie des corps finis, donc, je ne peux pas me prononcer sur ce sujet là.
Cordialement.

**Mocassins** · 04/08/2014, 09h51

Ok je comprends mieux. Excuse-moi cela doit être moi qui ne connait pas cette notation $\text{[math]}$ alors.

Regarde le message de taladris qui explique que $\text{[math]}$ n'est pas un corps.

**minushabens** · 04/08/2014, 13h46

Envoyé par Mocassins

$\text{[math]}$ n'est pas un corps: dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

Comment ça F8 n'est pas un corps? Tu parles de Z8 là (noté aussi 7/8Z).

invite52487760 · 04/08/2014, 13h56

@Mocassins : La réponse a été donné ici :http://www.les-mathematiques.net/pho...d.php?3,976721
Cordialement.

**Mocassins** · 06/08/2014, 17h31

Merci pour le lien chentouf.

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