Base orthonormale d'un espace de Hilbert

[acx01b]

Bonjour,

Intuitivement je dirais que pour tout espace de Hilbert de dimension infinie (ou finie ça marche aussi), il existe une base orthonormale c'est à dire que tout élément peut s'écrire comme :



et pour la norme des vecteurs de base :

est un ensemble continue. On a donc une partie de la base qui est un ensemble de vecteurs indexés par un indice continue , et une autre qui est un ensemble dénombrable de vecteurs .

Cependant je n'ai pas l'impression que c'est présenté comme ça en général.

Si l'espace de Hilbert est de dimension finie, et les sont nuls à partir d'un certain rang.

Je me trompe quelque part ? Merci !
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[acx01b]

petite faute de frappe

Ma question c'est bien : est-ce correct de dire que l'ensemble des vecteurs de base d'un espace de Hilbert n'est ni vraiment dénombrable ni vraiment continue : car c'est l'union de deux sous-ensembles l'un continue et l'autre dénombrable, pour le premier on fera une intégrale alors que pour le second ça sera une série ?

[Seirios]

Bonjour,

Il est possible que je sois à côté de la plaque, mais comment définis-tu ton intégrale ? Tu as regardé la page de wikipédia sur les bases hilbertiennes ?

[acx01b]

j'ai une famille de vecteurs paramétrés par exemple par un réel, dans ce cas et


si mes vecteurs sont des fonctions de dans alors on peut écrire :

avec

l'exemple le plus connu c'est la transformée de Fourier, avec

il y a aussi la base temporelle triviale dans ce cas les vecteurs de mon espace de Hilbert sont des distributions

non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

est-ce correct de dire que l'ensemble des vecteurs de base d'un espace de Hilbert n'est ni vraiment dénombrable ni vraiment continue : car c'est l'union de deux sous-ensembles l'un continue et l'autre dénombrable

En dehors de tout contexte spécifique et en comprenant que "continue" ici veut dire de cardinal au moins (ou ), l'union d'un ensemble de cardinal et d'un ensemble de cardinal est de cardinal , donc ici (ou ), c'est à dire vraiment "continu".

[acx01b]

j'ai oublié de prendre le conjugué complexe :

[acx01b]

En dehors de tout contexte spécifique et en comprenant que "continue" ici veut dire de cardinal au moins (ou ), l'union d'un ensemble de cardinal et d'un ensemble de cardinal est de cardinal , donc ici (ou ), c'est à dire vraiment "continu".

oui pardon c'est tout à fait vrai, mais il y a quand même union de deux sous ensembles puisque pour l'un on fait une intégrale, pour l'autre une série, j'ai juste ça que je voulais dire.
tout le monde connait les bases de Hilbert continues (exemple la transformée de Fourier), et les bases de Hilbert dénombrables (exemple les séries de Fourier), mais on a rarement des bases qui ont à la fois continues et dénombrables, et pourtant il me semble que c'est le cas général, une intégrale plus une série.

j'en profite pour vérifier : le cardinal d'une base de Hilbert ne peut pas être plus grand que le cardinal de donc , non ? c'est forcément une intégrale sur ou qui reste donc de cardinal ?

[Médiat]

Qu'un ensemble de cardinal non dénombrable ait un sous-ensemble dénombrable identifiable, ne me paraît pas exceptionnel (une base de comme espace vectoriel sur , peut être constitués d'éléments algébriques (dénombrables) et transcendants (non dénombrable).

[Médiat]

j'en profite pour vérifier : le cardinal d'une base de Hilbert ne peut pas être plus grand que le cardinal de ?

Un espace préhilbertien peut-être de n'importe quelle dimension, me semble-t-il.

le cardinal de donc

Non, le cardinal de est qui n'est égal à qu'avec l'hypothèse du continu (l'axiome le plus mal nommée de l'histoire des mathématiques )

[acx01b]

Qu'un ensemble de cardinal non dénombrable ait un sous-ensemble dénombrable identifiable, ne me paraît pas exceptionnel (une base de comme espace vectoriel sur , peut être constitués d'éléments algébriques (dénombrables) et transcendants (non dénombrable).

ben oui mais non ce n'est pas le point intéressant, j'ai l'impression d'avoir du mal à expliquer ma question

c'est juste que je pense que la formule générale d'un élément d'un espace de Hilbert (exprimé dans une certaine base) c'est une intégrale plus une série.

1) on ne voit jamais ça comme formule générale
2) est-ce que c'est vraiment générale comme formule ? je ne vois pas trop ce qu'on peut avoir de plus qu'une intégrale et une série ?
3) d'où ce fil et ma question de départ

et les vecteurs de base sous l'intégrale n'ont aucun rapport avec les vecteurs de base sous la série ! donc ce n'est pas un sous ensemble dénombrable du sous ensemble continu, ce sont deux sous ensembles de vecteurs de base a priori disjoints.

[acx01b]

je peux donner un exemple. on prend les fonctions de dans mais pas toutes les fonctions, seulement celles générées par la base suivante :

la famille dénombrable c'est pour
et la famille continue c'est pour

voila ça nous donne un espace vectoriel et l'espace de Hilbert s'obtient en utilisant le produit scalaire hermitien habituel et en complétant l'espace vectoriel par les limites de suites, donc un élément de cet espace de Hilbert s'écrit



avec une distribution (puisqu'on a ajouté les limites de suites)

[Seirios]

Je ne comprends pas ce qui te dérange avec la notion de base de Hilbert ? On a pas besoin d'intégrale (qui ne me paraît d'ailleurs pas évidente à définir non ?).

[acx01b]

quoi ? rien ne me dérange avec les espace de Hilbert, je ne comprends pas ?

de toute façon pour moi les espace de Hilbert ça me sert en traitement du signal (Laplace, Fourier, ondelettes, etc..) ou en apprentissage automatique (le kernel trick, kernel clustering ou kernel discrimination), c'est un objet pratique ce n'est pas du tout un objet théorique, et donc je n'ai pas de problèmes pour utiliser la notion pratique même si je n'ai jamais spécialement étudié en détail l'aspect théorique.

et pourquoi l'intégrale est difficile à définir (ça fait la deuxième fois que tu dis ça mais je ne vois toujours pas) ?

et comment ça "on n'a pas besoin d'intégrale" ? la transformée de Fourier nécessite bien une intégrale ! ce n'est pas moi qui ai inventé ça.

[acx01b]

si on exprime une fonction comme la transformée inverse de sa transformée de Fourier, c'est une manière de la définir comme un élément de l'espace de Hilbert des fonctions mais dans la base des exponentielles complexes, et il faut une intégrale pour ça.

et même une fonction dans la base canonique (la base des diracs) on peut l'exprimer avec une intégrale :



, les vecteurs de bases sont les

c'est encore une fois exactement une "projection" sur une base orthonormée