Isométries d'un sous-espace

[Mocassins]

Bonjour,

On se donne un fermé de et on le munit de la distance induite.

Existe-t-il des conditions sympa et générales* sur pour que toute isométrie soit la restriction à d'une isométrie ?

* je m'intéresse notamment à des conditions en lien avec des problèmes géométriques: application à certaines surfaces comme les cylindres, sphères, tores; à certaines courbes fermées, certains polyèdres, etc
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[Universus]

Bonsoir,

En fait, le critère est simple et général : puisque toute isométrie de est induite d'une isométrie de l'espace ambiant, il en résulte que tout sous-ensemble de a la propriété recherchée. Évidemment, si A est « bien complexe », par exemple un triangle non isocèle, le groupe .

En effet, soient et une isométrie. Si A est un sous-ensemble d'une droite, il n'est pas bien difficile de voir qu'une isométrie de A est induite par une isométrie de la droite, elle-même obtenue comme isométrie de l'espace tridimensionnel. Supposons donc qu'il existe trois points dans A qui ne soient pas colinéaires, de sorte que ces trois points appartiennent à un unique plan de l'espace tridimensionnel. Évidemment, l'isométrie envoie ce plan vers un autre plan , et en fait il n'y a que deux isométries telles que ( n'est que post-composée par la réflexion par rapport au plan ). Si A ne contient que ces trois points, de sorte que , il n'est pas bien difficile de voir que provient d'une isométrie de qui elle même provient d'une isométrie de l'espace tridimensionnel. Si A contient plus que ces trois points, alors il n'est pas bien difficile de voir que pour un quatrième point , vaut ou ; sans perte de généralité, supposons qu'il s'agit de . Si A ne contient que ces quatre points, c'est fini. Si A contient plus que ces quatre points, alors pour tout cinquième point , vaut ou ; si , les deux sont égales et si , alors seul vérifie ; donc est la restriction de .

Édition : Mon argument suppose que a_4 n'est pas dans Pi. Ce cas peut être considéré à part.

[Mocassins]

Merci Universus, ce truc des trois points non colinéaires est tout bonnement génial.

[Mocassins]

Je reviens avec un prolongement de ma question: que pensez-vous du cas où la norme sur (qui induit une distance sur ) est quelconque?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Ah, quelle question intéressante ! Je n'avais jamais pensé à étudier le groupe d'isométries pour une autre norme que la norme usuelle et décidément il peut s'en passer des choses ! Ça ne sert cependant à rien d'aller dans une trop grande généralité ici.

C'est un résultat assez connu que toutes les normes sont équivalentes sur un espace vectoriel de dimension fini. Plus précisément, si et sont deux normes sur un espace vectoriel V de dimension finie, alors il existe des constantes telle que pour tout , . Pour montrer ce résultat, il est suffisant de le montrer dans le cas où est la norme uniforme . Il est possible de montrer que si deux normes sont équivalentes, alors elles induisent la même topologie sur V. Ainsi, la question de savoir si une fonction est continue ne dépend pas de la norme présente sur V s'il s'agit d'un espace vectoriel de dimension fini.

Pour un espace vectoriel normé de dimension fini, soit la distance induite . Toute isométrie pour cette distance se doit d'être une fonction continue injective. Nous venons de voir que la notion de continuité ne dépend pas de la norme particulière, et il en va certainement de même pour l'injectivité. Puisque nous avons une relativement bonne connaissance de ce qu'est une fonction continue injective pour la distance euclidienne, nous avons déjà une bonne idée dans quel ensemble aller « puiser » les isométries de d.

Considérons (c'est plus simple que , mais pas moins pertinent pour le problème particulier que Mocassins considère). En particulier, considérons un cercle (disons celui de rayon R centré à l'origine). Sa topologie induite par une norme quelconque sur le plan est celle à laquelle nous sommes habitués. Considérons une application continue injective . C'est un fait assez connu en topologie qu'à homotopie près, cette application continue f est déterminée par un entier, soit par son degré (de Brouwer). L'injectivité de f oblige que ce degré soit -1 ou 1. En fait, ceci ne nous importe pas vraiment, c'est seulement rassurer notre intuition concernant f que nous en parlons : il s'agit d'un homémorphisme du cercle.

Nous arrivons maintenant à la question posée. Soient et l'ensemble des points , , et . Pour la norme uniforme, ces quatre points sont équidistants, tous situés à une distance 2 les uns des autres. Ainsi, l'ensemble des isométries de A est isomorphe à l'ensemble des permutations d'un ensemble à quatre éléments. Si une isométrie quelconque de A pouvait s'étendre à une isométrie globale du plan, cette isométrie globale enverrait le carré de sommets A (ensemble homéomorphe à ) vers un autre ensemble homéomorphe au cercle et contenant A. Ainsi, essentiellement, l'isométrie globale induirait un homémorphisme du cercle de rayon centré à l'origine dans lui-même se restreignant sur A à l'isométrie initiale. Or, un tel homémorphisme n'existe pas si l'isométrie initiale est par exemple la transposition de p et de q. Ainsi, admet davantage d'isométries qu'il n'y a d'isométries de se restreignant à A.

[Mocassins]

Merci pour cette réponse détaillée.

Il y a le théorème de Mazur-Ulam* qui implique que toute isométrie de est affine; c'est une autre façon de montrer que l'ensemble des quatre sommets du carré admet des isométries originales. Je me demande s'il existe une classe de parties (du plan disons) pour lesquelles cela se passe comme avec les normes strictement convexes.

C'est un fait assez connu en topologie qu'à homotopie près, cette application continue f est déterminée par un entier, soit par son degré (de Brouwer). L'injectivité de f oblige que ce degré soit -1 ou 1.

Je ne connais pas le degré topologique de Brouwer mais j'ai lu une preuve bien astucieuse du fait que les seules injections continues sont l'identité et la conjugaison; je te la mets en spoiler si ça t'intéresse.

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En résumé, pour une telle application , la composée de par à droite est une application continue -périodique de dans .
Pour , le coefficient de Fourier de d'ordre est .
Pour , c'est égal à .
Par injectivité de sur l'ensemble des applications de dans continues et périodiques, et par l'absurde, il existe un entier tel que .
On a soit . étant surjective, est la fonction puissance et son noyau, nul par injectivité, est donc .

*Si tu ne connais pas ce surprenant théorème je te conseille d'en lire une preuve, perso je trouve ça joli.

[Universus]

Merci pour cette réponse détaillée.

Il y a le théorème de Mazur-Ulam* qui implique que toute isométrie de est affine; c'est une autre façon de montrer que l'ensemble des quatre sommets du carré admet des isométries originales. Je me demande s'il existe une classe de parties (du plan disons) pour lesquelles cela se passe comme avec les normes strictement convexes.
[...]
*Si tu ne connais pas ce surprenant théorème je te conseille d'en lire une preuve, perso je trouve ça joli.

Je ne connaissais pas ce théorème. Il est effectivement assez formidable !

C'est que toute isométrie est affine, bien que cela ne soit pas le cas pour . Or, considérant que est une isométrie (que ou que ) et que toute isométrie induit une isométrie , la phrase précédente rend la conclusion du théorème de Mazur-Ulam bien moins évidente dans le cas . Ainsi, moralement, pour , le théorème de Mazur-Ulam tient parce qu'il faut que « l'étalement » entre les axes x et y soit préservé aussi par toute isométrie.

Merci bien !

Je ne connais pas le degré topologique de Brouwer mais j'ai lu une preuve bien astucieuse du fait que les seules injections continues sont l'identité et la conjugaison; je te la mets en spoiler si ça t'intéresse.

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En résumé, pour une telle application , la composée de par à droite est une application continue -périodique de dans .
Pour , le coefficient de Fourier de d'ordre est .
Pour , c'est égal à .
Par injectivité de sur l'ensemble des applications de dans continues et périodiques, et par l'absurde, il existe un entier tel que .
On a soit . étant surjective, est la fonction puissance et son noyau, nul par injectivité, est donc .

J'ai énoncé que toute application continue injective se devait d'être un homéomorphisme. Je n'ai pas dit que ce devait être l'identité ou la conjugaison complexe (sous l'identification ) et pour cause : une rotation du cercle est homéomorphisme qui n'est ni l'un ni l'autre. Même avec un point fixe, il existe des homéomorphismes n'étant ni l'un ni l'autre, essentiellement parce qu'il existe des applications continues strictement monotones qui ne sont ni l'identité, ni .

Par contre, cette preuve montre que les seuls isomorphismes de groupes de Lie sont l'identité et la conjugaison et il s'agit d'une preuve intéressante de ce fait. Merci encore !

[Mocassins]

Pardon oui dans mon spoiler, est de plus un morphisme de groupe!

[minushabens]

L'exemple d'Universus fonctionne aussi pour la norme ||.||1 avec les 4 points (0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0) qui sont tous à distance 2 les uns des autres. Cet exemple peut être étendu en dimension finie quelconque. Du moins on obtient en dimension n, 2^n points à distance 2 les uns des autres. Par contre le raisonnement sur la topologie du cercle qui est invariante par les isométries, je ne sais pas comment il s'étend en dimension quelconque. Une simple inversion de 2 sommets en dimension 3 par exemple ne pose pas de problème (l'octaèdre reste un octaèdre).

[minushabens]

dans le message précédent, il fallait lire 2n points et pas 2^n.

[Universus]

Par contre le raisonnement sur la topologie du cercle qui est invariante par les isométries, je ne sais pas comment il s'étend en dimension quelconque. Une simple inversion de 2 sommets en dimension 3 par exemple ne pose pas de problème (l'octaèdre reste un octaèdre).

Cela ne fonctionne pas de façon générale.

Dès que l'espace vectoriel est de dimension finie, sa structure topologique est indépendante de la norme qu'on peut lui donner (et la norme uniforme existant toujours en dimension finie, ces espaces vectoriels ont toujours une topologie « naturelle »). Du coup, au niveau de la topologie, nous pouvons réfléchir comme avec la norme euclidienne. Au lieu du cercle, nous prenons une n-sphère (si dim V = n+1 ). « L'argument » du degré tient tel quel, nous avons -1 ou 1. Comme dans mon message original, ce n'est pas suffisant, mais l'injectivité force encore la fonction à être un homéomorphisme (en fait, les sphères étant compactes et Hausdorff, toute bijection continue d'une sphère vers elle-même est un homéomorphisme. Nous avons établi ici l'injectivité ; l'invariance homotopique du degré oblige la surjectivité, car sinon l'application aurait degré nul).

Là où le bât blesse, c'est qu'une n-sphère (avec n > 1) est trop « grande » pour que la finale de l'argument fonctionne. En fait, juste dans avec n>1, le problème se voit : le groupe des homéomorphismes est k-transitif pour tout entier naturel k. Ce que cela signifie, c'est qu'en prenant k points distincts et k autres points distincts , il existe assurément un homéomorphisme f tel que pour j=1,...,k. Cela n'est pas vrai pour (et donc pour le cercle).

C'est pourquoi le théorème de Mazur-Ulam est si utile pour répondre à cette question, remplaçant complètement l'argument de la n-sphère.