"Théorème de Dini": round deux!

[Turgon]

Bonjour à tous.

Dans un précédent sujet intitulé: "Théorème de Dini", on m'a démontré la propriété suivante que je galérait à démontrer:

Soit une homotopie de telle que soit la fonction nulle. Pour toute suite croissante vers la suite des converge uniformément vers la fonction nulle.

Aujourd'hui, je me pose la question de la validité d'une version plus générale de ceci.

La version la plus générale que je cherche à démontrer est la même que la première, sauf que, au lieu que soit une homotopie, elle ne vérifie plus que les propriétés suivantes:

- est semi-continue supérieurement pour tout et vaut en .
- est semi-continue supérieurement pour tout et vaut en .

C'est-à-dire qu'au lieu d'avoir bicontinuité, on a "bi-semi-continuité supérieure" si l'on veut. Intuitivement je me dis que comme un fonction semi-continue supérieurement est une fonction continue "rabaissée", ça devrait passer.

Il y a une troisième version dont la généralité est intermédiaire entre la première et la deuxième et qui en fait me suffirait, et qui au lieu de stipuler que chaque composante est semi-continue supérieurement , ne leur demande que d'être des fonctions telle que pour tout la limite inférieure de quand tend vers soit ou .

Que pensez-vous de ces affirmations? Je sais que leur intérêt peut paraitre plutôt obscur, mais disposer de l'une où de 'autre m'aiderait vraiment énormément!

Merci d'avance pour vos réponses en tout cas .
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[Turgon]

Double post pour signaler une erreur. Dans l'énoncé que je pose, seul l'un des deux entre H(x,-) et H(-,y) a pour valeur 0 en 1, pour l'autre (qui représente (ou selon le choix) ce n'est pas donné.

Désolé et merci d'avance une fois de plus.

[Universus]

Salut Turgon,

Pour trouver un contre-exemple à tes propositions, il suffit de trouver un contre-exemple où « continu supérieurement » est remplacé par « continu ». Un peu sans t'en rendre compte, tu as assouplies tes hypothèses plutôt que de les renforcer.

Le contre-exemple qui t'avait été donné, à savoir et est pour chaque t une fonction continue. Par construction, quitte à utiliser le gluing lemma (je ne sais pas s'il existe une appellation française commune de cette propriété), il est facile de voir que chaque est aussi continue. En particulier, ce vérifie tes hypothèses, sans pour autant que les convergent uniformément vers .

Le problème avec tes hypothèses est qu'il n'y a, pour ainsi dire, pas assez d'interaction entre les et les pour que leur régularité individuelle implique une régularité aussi forte de la fonction . Par exemple, dans le contre-exemple ci-dessus, la fonction n'est pas continue (en (x,t) = (0,1) ), malgré que ses restrictions aux tranches de la forme et le soient. Nous avions établi dans l'autre fil que si H est continue, alors la convergence uniforme « vers les bords » est assurée.

Bref, la généralisation appropriée est de savoir si cela tient en supposant H semi-continue, supérieurement ou inférieurement. Seul un des deux cas est à établir, l'autre s'en déduisant en considérant -H. Le contre-exemple ci-dessus est semi-continue inférieurement, donc ça ne fonctionne pas plus. (Elle n'est semi-continue supérieurement en (x,t) = (0,1), évidemment). Cela n'exclut cependant pas le cas valant 0 en et semi-continue supérieurement, ce qui est davantage (maintenant que j'y pense) la généralisation appropriée de ta proposition. Là, je sens que ça le fait.

[Turgon]

Merci Universus. L'erreur que j'ai faites à mon avis c'est de généraliser la similarité entre bicontinuité et continuité dans l'espace produit pour des espaces compacts à une (fausse du coup) entre bi-semi-continuité supérieure et "autre chose" (mais comment peut-on appeler ça semi-continuité supérieure vu qu'on a pas d'ordre dans le produit pour employer le language de la semi-continuité?)

Bref moi aussi j'ai l'impression (peut-être fausse) qu'il y a quelque de possible avec la semi-continuité supérieure (l'inférieure je n'y pensais pas ^^) mais tu as sans doute une bien meilleure vision que moi du problème.

PS: Mais oui suis-je bête, on peut parler de semi-continuité supérieure vu que l'espace d'arrivée est [0,1], quel idiot je suis! Bon ok changement de proposition je suppose maintenant H semi-continue supérieurement. On va voir ce qu'on va voir !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

[...] c'est de généraliser la similarité entre bicontinuité et continuité dans l'espace produit pour des espaces compacts [...]

Je ne suis pas sûr de suivre ici. Juste pour être certain : une fonction telle que chaque et est continue (ce qui désignerait H comme étant bicontinue ?) n'est pas nécessairement continue, bien que l'inverse soit vrai.

[Turgon]

Tu as raison, ça craint de faire ce genre d'erreur à mon niveau d'étude, ça doit être la fatigue qui s'accumule (ça fait des mois que je bosse sur un sujet dont ces péripétie de semi-continuité ne sont que les petits nouveaux des derniers jours) ! Je dois définitivement revoir mon cours de licence de topologie (c'est pas juste je me pose ces questions pour des problèmes issus d'un cadre bien plus concret que les topologies produits pourtant).

Ok tant que j'y suis, je vais écrire correctement l'énoncé final à démontrer:

Soit une fonction semi-continue supérieurement (dans le sens ou pour tout , ).
On suppose que la fonction est nulle. Alors pour toute suite convergente vers , la suite de fonction définie par converge uniformément vers .

C'est l'énoncé qui a l'air d'être le plus synthétique. Celui qui m'interresse "vraiment" on va dire, c'est ce corrolaire immédiat suivant:

Soit une fonction telle que pour tout , .
On suppose que la fonction est nulle. Alors il existe une suite convergente vers telle que la suite de fonction définie par converge uniformément vers .

Voilà comme ça le problème est clairement posé .

[Turgon]

Et zut, il faut remplacer les lim inf par des lim sup dans mon post précédent...

[Turgon]

Bon ben finalement, c'est la même démo que tu m'avais faite dans mon post avec l'homotopie vu que [0,1] est compact et que pour tout a l'ensemble des x d'image strictement inférieure à a est ouvert.

Je n'avais juste pas les bonnes hypothèses, merci Universus!