Groupes engendrés par 2 éléments d'ordre 3

[kadomatsu]

Bonjour, voici une question naïve sur laquelle je ne sais pas dire grand-chose pour le moment.
On suppose que G est un groupe fini, non abélien, engendré par deux éléments d'ordre 3.
Ma question principale est : est-il possible de déterminer tous les groupes G qui vérifient ces conditions ?
Quelques questions secondaires : peut-il y avoir deux de ces groupes avec un même cardinal mais non isomorphes ? Est-ce que pour déterminer ces groupes, il suffit de considérer les équations possibles sur deux générateurs ?

Merci par avance pour toute suggestion/commentaire.
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[Seirios]

Bonjour,

Déjà, la première chose est de regarder du côté des produits semi-directs. Il n'y a que deux automorphismes de , donc tu obtiens deux groupes non isomorphes : le produit cartésien et le produit où . En particulier, ces deux groupes ont le même cardinal, donc cela répond à ta deuxième question.

[kadomatsu]

Merci pour ta réponse, cependant je souhaite m'intéresser uniquement aux groupes non abéliens, les groupes abéliens étant bien plus faciles à obtenir.

[Seirios]

Je n'ai pas beaucoup de temps pour le moment, mais un autre exemple de tels groupes est donné par le groupe de Heisenberg à coefficients dans .

Sinon, une possible pour classer tous ces groupes seraient de trouver tous les sous-groupes normaux d'indice fini du produit libre puis de les classer à isomorphie près. Je ne pense pas que cela puisse se faire simplement, mais peut-être que l'on peut obtenir des exemples intéressants.

[A voir en vidéo sur Futura]