Identité dans un triangle

[Bonnie_-]

Bonjour,

Je rencontre un problème qui n'a pas l'air bien compliqué mais qui pourtant me pose bien des soucis Je n'avance pas. Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plaît ?

Soit X un espace de Banach. L'identité d'Apollonius sur X est définie par :



Est-ce que cette identité est vraie pour tout espace de Banach X ? Si oui, démontrez-le. Si non, montrer un contre-exemple ensuite, trouver l'hypothèse la plus générale possible sur X afin que cela soit vrai.

--> On voit que ça correspond à la médiane d'un triangle quelconque (triangle de sommet XYZ). La médiane passe par le sommet z.
Ce que je ne comprends pas, c'est que pour moi, comme X est un espace de Banach et donc, autrement dit, un espace normé complet, cette identité d'Apollonius doit fonctionner dans une espace de Banach car pour cette formule, on peut utiliser des normes comme fait dans le cas présent (mais peut-être faut-il montrer autre chose pour la norme ?).
Par contre, je cale pour ce qui est de montrer que cette identité fonctionne pour un espace complet. Je ne crois pas que prendre 3 suites de Cauchy , et et montrer qu'utilisées comme dans l'identité, il y aurait moyen de montrer qu'elles convergent ?

De plus, les deux autres sous-questions me font penser que cette identité ne serait pas valable dans un espace de Banach ?! Ce qui m'étonne quand même en fait.

Pour ce qui est de trouver l'hypothèse la plus générale possible sur X afin que cela soit vrai, je dirai que X peut-être n'importe quel espace mais pas un espace complet.

Je suis vraiment coincée ... Pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance !
-----

[Tryss]

On peut remarquer que cette égalité se ramène a l'égalité du parallélogramme

[Bonnie_-]

On peut remarquer que cette égalité se ramène a l'égalité du parallélogramme

C'est bien possible mais je ne vois pas comment passer dans ce cas de l'identité d'Apollonius à celle du parallélogramme :



Et si je passe à l'identité du parallélogramme, je ne saurai toujours pas répondre au fait que cela soit valable ou non dans un espace de Banach ...

Disons que j'ai vu sur wiki que l'identité du parallélogramme était valable dans les espaces préhilbertiens (en particulier hilbertiens). Et qui dit préhilbertien, dis effectivement espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Mais je ne vois pas non plus comment montrer que l'identité du parallélogramme n'est valable que dans un espace préhilbertien (étant donné que c'est le même genre d'exercice et que je cale cruellement là-dessus depuis pas mal de temps) ?

Sinon, l'idée est sans doute bonne car après on peut dire que la norme découle d'un produit scalaire. Mais ça m'aidera pas pour Banach (dans le sens d'espace complet) ...

Je patauge vraiment. Cet exercice me fait de plus en plus peur

[Tryss]

Si tu poses a = z-x et b = z-y, alors en multipliant par deux l'égalité d’Apollonius, on trouve exactement l'identité du parallélogramme.

Ensuite, il faut savoir que si un espace evn complet (= un Banach) vérifie l'identité du parallélogramme, alors c'est un espace de Hilbert:
http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8....C3.A9logramme

C'est une caractérisation que l'on voit généralement au début des cours sur les espaces de Hilbert

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bonnie_-]

Si tu poses a = z-x et b = z-y, alors en multipliant par deux l'égalité d’Apollonius, on trouve exactement l'identité du parallélogramme.

Merci ! Ça m'avait échappé, je n'avais pas vu ...

Ensuite, il faut savoir que si un espace evn complet (= un Banach) vérifie l'identité du parallélogramme, alors c'est un espace de Hilbert:
http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8....C3.A9logramme

C'est une caractérisation que l'on voit généralement au début des cours sur les espaces de Hilbert

Oui, j'ai vu en effet que par définition, un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme dérive d'un produit scalaire.

Mais alors, si on montre que l'on peut reformuler l'identité d'Apollonius en l'identité du parallélogramme et que celle-ci est valable dans les espaces de Hilbert et donc a fortiori dans les espaces de Banach, est-ce que l'exercice est ainsi résolu ? Les sous-questions demandées me perturbent quand même vachement

(Sinon ensuite, pour terminer la démo, je me dis que je dois écrire la petite "démo" du parallélogramme : soit X espace préhilbertien, alors on observe que ||u+v||²=||u||²+2(u|v)+||v||² et ||u-v||²=||u||²-2(u|v)+||v||² . En additionnant ces 2 relations, on obtient l'identité du parallélogramme --> histoire de bien montrer que cette identité est bien valable dans des espaces préhilbertiens et donc de hilbert aussi et donc de Banach aussi, non ?).