Bonjour, je suis coincé sur un exercice qui me paraittout bete mais que je n'arrive pas à résoudre!
Soit f continue de [a,b] dans R+ et telle que intégrale de f de a à b =0. Montrer que f=0
J'ai dit on a :
f continue donc f admet une primitive que l'on note F
puis F(b)-F(a)=0 donc F(b)-F(a)=0 mais je ne vois pas a quoi ca m'avance ni quelle piste suivre?
Merci d'avance
Je crois qu'on peut se débrouiller en supposant dans un premier temps que $f$ est constante puis que $f$ est une application en escalier puis qu'en réalité c'est unelimite uniforme d'application en escalier.
EDIT : P.S. : je n'ai pas essayé de refaire la preuve mais si cela ne marche pas je donnerai une explication plus détaillée
merci, je vais essayer
de rien ! Il me semble que c'est une méthode assez souvent utilisée en théorie de la mesure
je ne vois pas comment faire malheureusement :/
par contradiction ca peut marche comme ca ?
je suppose qu'il existe un point x0 de [a,b] tel que f(x0) > 0. Alors, par continuité, il existe un voisinage (x0-, x0+)de x0 sur lequel f(x) > 0, donc f(x)dx sur ce voisinage est > 0, donc f(x)dx sur tout [a,b] est > 0.
est ce suffisant ?
Je raisonnerai par contraposition.
Soit f non nulle, alors il existe c ettel que
Donc, par croissance et positivité de l'intégrale,
cqfd
edit : c'est effectivement ce que tu proposes
d'accord merci, bon je vais aller rédiger tout ca proprement !!
petite précision, a<b, cela change tout ,non?
non en fait cela ne change absolumenr rien, désolé .
