Nombre de chiffre

[Huntere]

Bonsoir,

je bloque sur un exerice :

. Pour n ∈ N, on note sn le nombre de chiffres de l’écriture décimale de 2^(2^n). Étudier la suite de terme général (sn+1/sn)

je n'arrive pas à expliciter sn pour pouvoir étudier Sn+1/sn
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[Tryss]

Penser au logarithme decimal pour obtenir le nombre de chiffres

[Seirios]

Bonsoir,

Un indice : exprime en fonction de .

[Huntere]

on cherche le nombre de chiffre de , avec un n entier naturel

Si
alors
Or (Base 10) donc comme la fonction log étant strictement croissante),
cad . En ajoutant p à chacun des membres de cet inégalité, il vient bien:
avec p la partie entiére de

si ce nombre s'ecrit en N chiffre, c'est que ce nombre est compris entre donc son écriture scientifique est de la forme
avec p=N-1 donc N=1+ E( log (2^{2^{n}}) )= Sn

On Sn=E(2^n*Log(2))+1
S(n+1)=E(2^n+1*Log(2))+1

Les parties entiéres me génent pour l'étude de la suite de terme général

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

On n'a pas besoin des parties entières, il suffit de raisonner en équivalents.
Et donc
puis

Ce qui pouvait aussi se trouver avec l'indication de Seirios, puisque (si ) on a , et on double le nombre de chiffres en élevant au carré (à une unité près).