Espace vectoriel

[Stellita]

Bonsoir, je fais un exercice sur les espaces vectoriels et je ne comprends pas très bien une notation que je n'avais jamais rencontré avant.
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

Soit E = F(R,R)
Dans chacun des espaces suivants, montrer que F et G sont supplémentaires dans E et donner la décomposition d'une fonction f appartenant à E.

F = { f ∈ E, f(0)=0}
G = vect( x -> exp(x))

C'est la notation du vect qui me gène parce qu'en général on a souvent vect( (a,b,c,...),...) et du coup le fait d'avoir le vect d'une fonction je vois pas très bien comment l'interpréter.
Dans la résolution de l'exercice :

F ⋂ G = {0} car

- F : ensemble qui regroupe toutes les fonctions qui s'annulent en 0
- G : le reste des fonctions sauf celles qui s'annulent en 0 puis exp(x)=0 n'a pas de solution ?

On voit aussi que dim(F) =0, dim(G) = 1 et on sait que dim(E) = 1 donc dim(F)+dim(G)= dim (E)

Pour la décomposition je sais pas trop comment la faire par rapport au vect.

Si on note h(x) = exp(x)

Soit f∈E tel que :
f(0)=0 et f = ∑ α*h(x)
-----

[Tryss]

- G : le reste des fonctions sauf celles qui s'annulent en 0 puis exp(x)=0 n'a pas de solution ?

Dans G il n'y a pas "le reste des fonctions qui ne s'annullent pas en 0", seulement les fonctions de la forme a*exp(x). Or la seule fonction de ce type qui s'annule en 0 est la fonction 0 = 0*exp(x), d'ou le résultat

On voit aussi que dim(F) =0, dim(G) = 1 et on sait que dim(E) = 1 donc dim(F)+dim(G)= dim (E)

C'est faux : F et E sont des espaces vectoriels de dimension infinis

Pour la décomposition je sais pas trop comment la faire par rapport au vect.

Si tu as une fonction donnée f, il faut l'écrire sous la forme :

f(x) = a*exp(x) + g(x)

Où a est un réel et g une fonction qui s'annule en 0. Je te conseille de regarder ce qu'il se passe pour cette décomposition en x = 0

[Stellita]

Merci de m'avoir répondu.

J'ai une question. Pour dire que des espaces sont supplémentaires montrer que l'intersection de ces espaces est vide est suffisant ? Ou il faut montrer que l'intersection est vide et raisonner sur les dimensions ?

f(x) = a*exp(x) + g(x)

Lorsque x = 0, on f(0) = a

[Tryss]

Merci de m'avoir répondu.

J'ai une question. Pour dire que des espaces sont supplémentaires montrer que l'intersection de ces espaces est vide est suffisant ? Ou il faut montrer que l'intersection est vide et raisonner sur les dimensions ?

Ici on ne peut pas raisonner sur les dimensions (et l'intersection n'est pas vide mais contient la fonction nulle)

Ce que je ferrai c'est :
1) montrer que l'intersection est réduite à la fonction nulle
2) donner directement la décomposition d'une fonction sous la forme F+G

f(x) = a*exp(x) + g(x)

Lorsque x = 0, on f(0) = a

Donc a = f(0), et tu as la première partie de la décomposition f(x) = f(0)*exp(x) + g(x)


Maintenant à quoi est égal g(x) (ca n'est pas tres difficile)

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonsoir,

Juste une petite remarque complémentaire : En toute rigueur, il faudrait en premier lieu démontrer que et sont bien 2 sous-espaces vectoriels de (même si c'est très simple).

Cordialement

[PlaneteF]

C'est la notation du vect qui me gène parce qu'en général on a souvent vect( (a,b,c,...),...) et du coup le fait d'avoir le vect d'une fonction je vois pas très bien comment l'interpréter.

D'ailleurs la notation de ce , telle qu'elle est écrite dans l'énoncé que tu as donné, n'est pas tout à fait rigoureuse, ou du moins n'est pas complétement explicite. En effet une fonction est définie par une association, mais aussi par un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée. En fait ici on sait qu'implicitement ces 2 ensembles sont . Maintenant si l'on veut écrire les choses explicitement, on peut noter la fonction de vers telle que

Il vient alors :

Du coup, écrit comme cela, peut-être que les choses deviennent plus clairs par rapport à ta question en citation. On voit bien que est un vecteur au même titre que , et dans ton exemple (un vecteur d'un espace vectoriel est un objet très général, ici c'est une fonction, mais cela peut être un polynôme, une suite, une matrice, un vecteur comme vu au collège/lycée, etc ...).

Donc ici est droite vectorielle générée par le vecteur (qui n'est évidemment pas la fonction nulle), et tu peux écrire :

Et pour toute fonction de on a


N.B. : Tu remarqueras que conformément à ce qui vient d'être dit, ici l'élément de n'est pas mais
N.B.B : En fait dire que est le vecteur est un abus de langage que l'on fait souvent, et comme tous les abus de langage cela ne pose aucun problème à la condition qu'il soit partagé par le plus grand nombre, et aussi à la condition d'être conscient qu'il d'agit d'un abus de langage.


Cordialement

[Stellita]

Merci beaucoup PlaneteF

En fait c'est cette notation que je ne comprenais pas et qui me gênais.
Maintenant je comprends mieux, merci de me l'avoir expliqué.